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Indépendance : calculatoire

Dans cet exercice, nous avons une entreprise qui a deux rendez-vous avec deux fournisseurs différents. Nous allons essayer de faire signer un contrat au premier fournisseur avec une probabilité de 0,7 et au deuxième fournisseur avec une probabilité de 0,4. Les deux événements sont considérés comme indépendants, ce qui signifie que la signature d'un contrat avec le premier fournisseur n'exclut pas la possibilité de signer également un contrat avec le deuxième fournisseur. Maintenant, nous devons calculer la probabilité de deux événements. Tout d'abord, nous définissons les événements comme suit : S1 représente la signature d'un contrat avec le fournisseur 1, S2 représente la signature d'un contrat avec le fournisseur 2. L'événement "aucun contrat" signifie qu'aucun contrat n'est signé, ni avec le fournisseur 1 ni avec le fournisseur 2. Donc, cela correspond à S1 bar (non signé avec le fournisseur 1) intersecté avec S2 bar (non signé avec le fournisseur 2). L'événement "au moins un contrat" est le complémentaire de l'événement "aucun contrat". Donc, nous pouvons utiliser la probabilité de l'événement "aucun contrat" pour calculer la probabilité de "au moins un contrat", en utilisant la formule : P(au moins un contrat) = 1 - P(aucun contrat). En utilisant la propriété d'indépendance des événements S1 et S2, nous savons que P(S1 bar intersect S2 bar) est équivalent à P(S1 bar) * P(S2 bar). Donc, nous pouvons calculer la probabilité de "aucun contrat" en remplaçant chaque probabilité par 1 moins la probabilité de l'événement de base. Ainsi, nous avons 0,3 * 0,6 = 0,18 pour la probabilité de "aucun contrat". Par conséquent, la probabilité de "au moins un contrat" est égale à 1 - 0,18 = 0,82, soit 82%. En résumé, il y a 82% de chances que l'entreprise signe au moins un contrat avec l'un des deux fournisseurs. Cela inclut également la possibilité de signer des contrats avec les deux fournisseurs. Il est important de clarifier les événements et de tenir compte de l'indépendance entre eux lors de la résolution du problème.
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Indépendance : définition

Dans cet exercice, on nous donne des informations sur la population française: 90% des personnes sont droitières et 45% sont myopes. On nous dit également que parmi les myopes, 10% ne sont pas droitières. On nous demande si les événements "être droitière" et "être myope" sont indépendants. Pour répondre à cette question, nous devons analyser les probabilités. Premièrement, nous traduisons l'énoncé en termes de probabilités. Être droitière a une probabilité de 90% pour un français, tandis que être myope a une probabilité de 45%. De plus, parmi les myopes, il y a une probabilité de 10% de ne pas être droitière. En regardant ces informations, nous remarquons que la probabilité de ne pas être droitière parmi les myopes est de 0,1. Cela implique que la probabilité d'être droitière parmi les myopes est de 0,9 (puisque la somme des probabilités doit être égale à 1). Maintenant, nous pouvons répondre à la question de savoir si les événements sont indépendants. Si être droitière est indépendant d'être myope, cela signifie que connaître si quelqu'un est myope ou pas ne change pas la probabilité d'être droitière. Dans notre cas, la probabilité d'être droitière est de 0,9, que l'on soit myope ou pas. Donc, d'après cette analyse, nous pouvons conclure que la myopie et le fait d'être droitière sont indépendants.
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Écriture ensembliste

Dans cet exercice, on nous donne trois événements, A, B et C, de l'univers Omega. Le but est de traduire ces phrases en termes d'ensembles. En utilisant les symboles d'union, d'intersection et le complémentaire, on peut représenter ces phrases de la manière suivante : - Seul A se réalise : A ∩ B' ∩ C' - A et B se réalisent, mais pas C : A ∩ B ∩ C' - Les trois événements se réalisent : A ∩ B ∩ C - Au moins l'un des trois événements se réalise : A ∪ B ∪ C - Au moins deux des trois événements se réalisent : (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) - Aucun ne se réalise : A' ∩ B' ∩ C' - Au plus l'un des trois se réalise : Ω - (A ∪ B ∪ C) - Exactement deux des trois se réalisent : (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) Voilà pour le résumé en termes SEO-friendly de cet exercice.
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Probabilité de l’intersection

Dans cet exercice, nous voulons illustrer une inégalité concernant la probabilité de l'intersection de deux événements. Plus précisément, nous voulons montrer que cette probabilité est comprise entre deux valeurs. Pour commencer, nous allons examiner la partie de droite de l'inégalité. La probabilité de l'intersection est égale à la plus petite valeur entre 0 et la somme des probabilités des deux événements moins 1, ainsi que le minimum des probabilités individuelles. Pour le démontrer, nous utilisons la formule appropriée. Une autre méthode aurait pu être utilisée, mais j'ai préféré utiliser cette approche. Nous utilisons la formule et constatons que l'événement A est inclus dans l'union, tout comme B. Par conséquent, la probabilité de l'union est plus grande que celle de A et aussi que celle de B. En conséquence, P(A∩B) est négatif par rapport à P(A) et P(B). De même, P(B∩A) est également négatif par rapport à P(B) et P(A∪B). En remplaçant ces valeurs dans l'inégalité, nous constatons que P(A∩B) est plus petit à la fois que P(A) et que P(B), ce qui signifie qu'il est plus petit que le minimum des deux probabilités. Ensuite, nous montrons l'égalité dans l'autre sens. Tout d'abord, nous devons démontrer que la probabilité de l'intersection est plus grande que le maximum des deux probabilités. Cela signifie que nous devons montrer qu'elle est plus grande que l'une et plus grande que l'autre. Nous savons que cela est supérieur à zéro car il s'agit d'une probabilité. Il nous reste à prouver qu'elle est plus grande que la valeur maximale. Comme je l'ai mentionné précédemment, P(A∪B) est plus petit que 1, donc P(A∩B), qui est égal à P(A) + P(B) - P(A∪B), est plus grand que P(A)+P(B)-1. Par conséquent, il est plus grand que zéro et que cette valeur maximale, ce qui conclut notre exercice.
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Inégalité de Bonferroni

Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer la formule de la probabilité de l'intersection de n événements, qui est supérieure ou égale à la somme des probabilités moins n moins 1. Nous allons le démontrer par récurrence pour n supérieur ou égal à 2. L'initialisation se fait pour n=2. Dans ce cas, la probabilité de l'intersection est égale à la somme des probabilités moins 1. En utilisant la formule P(A)+P(B)-P(A∪B), nous obtenons bien P(A1)+P(A2)-1. Ensuite, nous passons à l'hérédité. La probabilité de l'intersection allant jusqu'à n+1 est égale à la probabilité de l'intersection allant jusqu'à n, multipliée par la probabilité n+1, moins la probabilité de cette intersection union An+1. Nous avons utilisé la formule P(A)+P(B)-P(A∪B), où A représente l'intersection allant jusqu'à n et B représente l'événement n+1. En utilisant l'hypothèse de récurrence, qui nous dit que cette probabilité est supérieure ou égale à la somme des Pi moins n moins 1, nous pouvons réinjecter P(An+1) dans la somme et obtenir moins n plus 1, correspondant à n+1 moins 1 dans la formule. Ainsi, nous avons démontré l'hérédité, et donc la récurrence était assez rapide à faire. Nous obtenons donc la formule demandée pour la probabilité de l'intersection de n événements.
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Loi de dés pipés

Dans cet exercice, il s'agit de modéliser une expérience aléatoire avec un dé pipé, où la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au chiffre sur cette face. La probabilité de faire 1 est notée x, donc la probabilité de faire 2 est de 2x, et ainsi de suite jusqu'à 6x, pour que cela soit proportionnel. La somme de toutes ces probabilités doit égaler 1. On obtient donc l'équation x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 1, ce qui donne 21x = 1. Donc x = 1/21, qui est notre probabilité pour faire 1. Ensuite, on cherche la probabilité d'obtenir un chiffre pair, en faisant la somme des probabilités des événements correspondants (2, 4 et 6). Les événements sont mutuellement exclusifs, donc on peut simplement additionner les probabilités. Donc on a 2/21 + 4/21 + 6/21 = 12/21, simplifié en 4/7. Dans la seconde partie de l'exercice, on refait la même chose, mais cette fois-ci avec une nouvelle distribution de probabilités. On veut que la probabilité d'obtenir une face paire soit le double de celle d'obtenir une face impaire. Donc on a x pour une face impaire, et 2x pour une face paire. La somme de toutes ces probabilités doit encore égaler 1. On a donc l'équation x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1, soit 9x = 1. Donc x = 1/9, notre probabilité pour une face impaire. Ensuite, on cherche la probabilité d'obtenir une face paire, en additionnant les probabilités correspondantes (2x pour chaque face paire). Donc on a 2/9 + 2/9 + 2/9 = 2/3. C'est tout pour cet exercice.
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Déterminer une loi

Dans cet exercice, on considère un ensemble de nombres de 1 à n et on cherche la probabilité d'obtenir l'ensemble 1, k où k est un nombre dans cet ensemble. On souhaite que cette probabilité soit proportionnelle à k². Pour cela, on cherche la valeur de λ telle que la probabilité d'obtenir l'ensemble 1, k soit égale à λ fois k². On sait que la probabilité d'obtenir juste k est égale à la probabilité d'obtenir l'ensemble 1, k moins la probabilité d'obtenir l'ensemble 1, k-1. En utilisant cette supposition sur λ, on développe l'expression et on obtient finalement 2λk-1, qui représente la probabilité d'obtenir juste k. On sait également que la probabilité d'obtenir tout l'ensemble de 1 à n est égale à 1, car c'est l'univers. Donc on peut dire que cette probabilité est égale à λn. En résolvant cette équation, on trouve que λ est égal à 1 sur n². Finalement, la probabilité d'obtenir un nombre parmi 1, n (c'est-à-dire d'obtenir juste k) est égale à 2k-1 sur n². Voilà pour le résumé SEO friendly de cet exercice.
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Cours par cas pratiques !

Dans cette transcription de cours, nous abordons le dénombrement des anagrammes, c'est-à-dire le nombre de façons de combiner les lettres d'un mot donné. Nous commençons par l'exemple du mot "ABC" et expliquons que le nombre d'anagrammes est égal à 3 factorielle, car il y a 3 lettres que nous pouvons placer dans 3 cases. Ensuite, nous abordons des mots avec des lettres répétées, comme "CHA", "CHIEN" et "VALISE". Nous expliquons que le raisonnement est le même, mais nous devons tenir compte des permutations possibles pour les lettres identiques. Par exemple, dans le mot "AXA", il y a 3 anagrammes possibles, mais nous devons diviser par 2 car les deux "A" sont identiques. Pour des mots plus complexes comme "ABRACADABRA", nous devons prendre en compte les permutations pour chaque lettre répétée. Par exemple, il y a 5 "A" et 2 "B" dans ce mot, donc nous devons diviser par 5 factorielle pour les "A" et par 2 factorielle pour les "B". En utilisant cette méthode de raisonnement et de correction, nous pouvons déterminer le nombre d'anagrammes pour n'importe quel mot donné. Cela implique de compter le nombre total de lettres, de tenir compte des lettres répétées et de diviser par les permutations possibles pour chaque lettre répétée. Ce processus peut sembler compliqué, mais il permet d'obtenir le résultat correct.
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Déterminer des ensembles

Dans ce cours, on apprend la première méthode de dénombrement. On distingue deux concepts importants : les ensembles et les listes. Un ensemble est comme un sac qui contient différentes choses, sans ordre particulier. Une liste, quant à elle, est une collection d'éléments organisés selon un ordre spécifique. Il faut faire attention à ne pas confondre les deux. Dans les ensembles, l'ordre des éléments ne compte pas. Par exemple, le sac contenant AB est équivalent au sac contenant BA. En revanche, dans les listes, chaque élément a un numéro d'ordre spécifique (par exemple, les coordonnées 1-2 ne sont pas les mêmes que les coordonnées 2-1). Lorsqu'on travaille avec des ensembles, on utilise des opérations combinatoires, qui seront abordées dans les prochaines méthodes. Par exemple, on peut prendre l'union (notée U) de deux ensembles, ce qui donne un nouvel ensemble contenant tous les éléments des deux ensembles (sans les répéter). On peut également prendre l'intersection (notée ∩), qui donne les éléments communs aux deux ensembles. On introduit également le concept de produit cartésien, qui consiste à former des couples d'éléments provenant de deux ensembles différents. Par exemple, si on prend le produit cartésien de deux ensembles E et F, on obtient un ensemble de couples, où le premier élément du couple provient de E et le deuxième élément provient de F. Ensuite, on explore les paires, qui sont des ensembles de deux éléments. On peut former toutes les paires possibles à partir d'un ensemble donné. Il faut cependant faire attention à ne pas compter deux fois les paires qui contiennent les mêmes éléments (par exemple, la paire HE est la même que EH). En résumé, il est important de distinguer entre ensembles et listes, car cela influence le dénombrement des possibilités. Les opérations sur les ensembles (union, intersection) et le produit cartésien permettent de combiner et de comparer des ensembles. Les paires peuvent être formées à partir d'un ensemble donné en prenant toutes les combinaisons de deux éléments.
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Utiliser un diagramme

Les diagrammes sont très utiles pour représenter visuellement des informations et faciliter leur compréhension. Dans cet exemple, nous utilisons un diagramme pour dénombrer des éléments appartenant ou non à une sous-catégorie. Prenons l'exemple d'une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi ces touristes, 14 pratiquent le ski de piste, 7 pratiquent le ski de fond et 4 pratiquent les deux. Sur le diagramme, les 20 touristes sont représentés par une bulle bleue. À l'intérieur de cette bulle, nous avons 10 touristes qui pratiquent le ski de piste, 4 touristes qui pratiquent à la fois le ski de piste et le ski de fond, et 3 touristes qui pratiquent uniquement le ski de fond. En additionnant ces chiffres, nous obtenons bien les 14 touristes qui pratiquent le ski de piste et les 7 touristes qui pratiquent le ski de fond. Maintenant, il reste à déduire combien de touristes ne pratiquent aucune de ces activités. En comptant les touristes pratiquant le ski de piste, le ski de fond et les deux activités, soit 10 + 4 + 3, nous obtenons 17. Étant donné qu'il y avait initialement 20 touristes, cela signifie qu'il y a 3 touristes qui ne pratiquent aucune activité. Ce petit exemple illustre la méthode de représentation par diagrammes, qui peut être utilisée même dans des cas plus complexes. Les bulles permettent de visualiser facilement les différents éléments et de mieux s'y retrouver. C'est ainsi que fonctionnent les diagrammes.
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Dénombrer des ensembles simples

Dans ce cours, nous allons apprendre à dénombrer des résultats en utilisant des exemples concrets. Premièrement, nous lançons une pièce pile ou face 7 fois de suite. Nous voulons déterminer le nombre de résultats possibles. Nous devons nous poser deux questions. Tout d'abord, est-ce une liste ou un ensemble et est-ce que l'ordre compte ? Dans ce cas, l'ordre compte et nous pouvons répéter les résultats. Donc le nombre de tirages possibles est de 2 puissance 7. Deuxièmement, nous avons deux joueurs qui jouent au domino et qui reçoivent 7 dominos chacun parmi les 28 dominos du jeu. Nous devons déterminer le nombre de distributions possibles. Dans ce cas, nous considérons que c'est une liste et que l'ordre compte. Il n'y a pas de répétition. Donc le nombre de distributions possibles est égal à 28 factorial sur 14 factorial. Enfin, nous disposons de 4 gâteaux pour 4 invités. Nous devons déterminer le nombre de choix possibles. Chaque invité aura un gâteau et il n'y a pas de répétition possible. L'ordre compte. Donc le nombre de choix possibles est égal à 4 factorial. Pour résumer, lorsque nous dénombrons, nous devons nous poser deux questions : est-ce que l'ordre compte et est-ce que nous pouvons répéter les résultats ? Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à consulter la FAQ.
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Tirage successif sans remise

L'énoncé du cours concerne le tirage successif sans remise d'un certain nombre d'élèves se tenant en rang. Il s'agit de déterminer combien de façons il est possible de les ranger. Il est important de préciser si l'on considère une liste ordonnée ou un ensemble, ainsi que la présence ou non de répétition. Dans cet exemple particulier, l'ordre compte et il n'y a pas de répétition possible. Pour trouver le nombre de façons de ranger les élèves, on utilise la formule générale de P tirages successifs sans remise dans un ensemble à N éléments. Ainsi, si on a N élèves et que l'on en range P, le nombre de possibilités est donné par la formule N! / (N-P)!. Pour mémoriser cette formule, il est utile de retenir N! / (N-P!) pour les tirages successifs sans remise. C'est ainsi que l'on procède pour le tirage successif sans remise.