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Inégalité triangulaire, partie réelle et imaginaire d’un quotient

Paul explique comment résoudre un exercice sur les complexes en suivant les étapes suivantes : 1. Établir l'inégalité triangulaire renversée.2. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe en fonction des parties réelles et imaginaires de ce complexe ainsi que du module de ce complexe.3. Utiliser les formules de l'air pour calculer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe. Il rappelle l'importance de bien visualiser les angles et les formes exponentielles et de prendre les formules de l'air par cœur.
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Formule de l'arc moitié

Le cours explique comment transformer des nombres complexes en forme exponentielle en factorisant par eit plus eit prime sur 2 à l'aide de la méthode de l'angle moitié. Il montre également comment vérifier si le nombre obtenu est positif en utilisant la fonction cosinus et dans quelles conditions rajouter un pi à l'argument. L'application pratique est présentée pour les nombres 1 et -1.
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Racine n-ième

Dans cette leçon, Paul résout des équations avec des nombres complexes en utilisant la forme exponentielle. Il explique comment mettre des nombres complexes sous forme exponentielle en utilisant les valeurs des sinus et des cosinus sur le cercle trigonométrique. Il montre comment résoudre des équations avec des racines de l'unité en divisant un nombre complexe par lui-même et en le faisant passer dans l'ensemble des racines de l'unité. Enfin, il rappelle qu'une équation de ce type aura généralement quatre à six solutions.
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Formule de Moivre

Dans cette vidéo, Paul explique comment calculer exponentielle de e i alpha et comment traiter différents cas pour les formes exponentielles de nombres complexes. Il insiste sur la compréhension de la notation et la distinction entre exponentielle de e i alpha et exponentielle puissance e, le tout puissance i alpha. Il montre ensuite comment exprimer e i alpha en forme module argument et comment prendre en compte les cas où le module est égal à 0 ou l'argument n'existe pas. Il explique également comment obtenir l'argument d'un produit de nombre complexe et quand il est positif ou négatif. Tout cela est présenté de manière claire et structurée pour une meilleure compréhension.
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Produit des racines de l'unité

Dans cette vidéo, Paul explique un exercice qui implique le calcul d'un produit de ω et k, pour k allant de 0 à n-1. Il montre que ce produit est égal à a-1 puissance n-1 avec les ω égales E2i pi sur n. Paul explique que les racines n° de l'unité, ω0, ω1, ω2 jusqu'à ωn-1, ainsi que la somme des racines n° de l'unité peuvent être utiles dans ce calcul. Il souligne également l'utilisation de la formule qui dit qu'un produit d'exponentielles s'égale à l'exponentielle de la somme. En remplaçant ωk par sa valeur exponentielle de 2ikπ sur n, on obtient eipi puissance n-1 qui est égal à -1. Le résultat attendu est donc confirmé.
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Alignement de points

Dans ce cours, Paul explique une méthode avancée pour résoudre des équations complexes. Il utilise une équation classique à résoudre pour trouver des racines d'une équation complexe. Ensuite, il prouve que les affixes de ces racines sont alignées en utilisant deux cas : la droite qui passe par l'origine et la droite qui ne passe pas par l'origine. On utilise la technique de l'angle moitié pour prouver que toutes les affixes des complexes sont alignées sur une droite décalée de alpha sur 2.
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Sommes trigonométriques

Le cours explique l'utilisation des nombres complexes dans le calcul de sommes, notamment avec les fonctions trigonométriques. Pour calculer les sommes, l'orateur utilise la méthode du binôme de Newton et la somme des termes d'une suite géométrique. Il rappelle également l'utilisation des parties réelles et imaginaires pour bien séparer les sommes. La dernière question aborde un cas où il faut d'abord calculer dn en fonction de n et le remplacer ensuite par k, sans oublier de remplacer tous les n par les k. Enfin, l'orateur souligne que les complexes sont indispensables dans le calcul des sommes avec des fonctions trigonométriques pour éviter les erreurs.
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Équations polynomiales

Dans cette vidéo, Paul explique comment résoudre des équations du second degré à coefficients complexes, ainsi que des équations qui s'en rapprochent. Pour la première équation, la technique est similaire à la résolution d'une équation réelle, en trouvant les valeurs de Z1 et Z2. Pour la deuxième équation, qui est déguisée en une équation du second degré, Paul pose X = Z3 et résout l'équation pour trouver les solutions de X. Ensuite, il résout l'équation E1 pour trouver les solutions de Z3, en utilisant la racine 1ème de l'unité. Au final, il obtient 6 solutions qui correspondent au polynôme initial de degrés 6.
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Équations algébriques avec des complexes

Dans cette vidéo, Paul résout un exercice sur la résolution d'équations algébriques dans le domaine des complexes. La première question consiste à résoudre l'équation Z sur Z-1 puissance n égale à 1 dans C. Si n est égal à 0, tout Z est une solution, sinon, les solutions sont les racines énièmes de l'unité. Dans la deuxième question, Paul observe que l'équation Z plus i puissance n égale à Z moins i puissance n admet n moins 1 solutions réelles. En isolant Z, il utilise la formule de l'angle moitié plus les angles de l'air pour obtenir les solutions, qui sont les complexes si n est égal à 0 et les racines tangentes si n est supérieur à 0.
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Trigonométrie avec les complexes

Dans cette vidéo, Paul explore le lien entre les nombres complexes et la géométrie, en se concentrant sur un pentagone inscrit dans un cercle unité. Il commence par donner les affixes des sommets du pentagone, qui sont les racines 5ème de l'unité. Il montre ensuite que la somme de ces affixes est égale à 0. En utilisant cette propriété, il déduit que le cosinus de 2π/5 est une solution d'une équation et calcule sa valeur. Il calcule également des longueurs en utilisant les formules trigonométriques et remarque que cos(π/10) est égal à cos(2π/5). Ensuite, il résout un problème de géométrie en calculant la longueur BI plus la longueur IJ. Enfin, il explique comment construire un pentagone régulier à l'aide d'un cercle et de symétries.
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Lieu géométrique avec l’argument

Dans cette vidéo, Paul explique comment déterminer l'ensemble des points M dont la fixe Z vérifie certaines relations complexes en utilisant des objets géométriques. Pour la première question, Paul cherche les points M avec une fixe Z telle que l'argument de Z-2 est égal à pi sur 2 modulo de pi, ce qui signifie que Z est sur la demi-droite d'origine 2,0 porté par un vecteur V. Pour la deuxième question, l'argument de Z divisé par I plus I est égal à pi sur 2 modulo de 2 pi, ce qui signifie que Z est sur la demi-droite d'origine O passant par le point 1. Pour la troisième question, Paul développe une méthode pour trouver les points M tels que l'argument de Z moins 2i divisé par Z moins 1 plus i est égal à pi sur 2 modulo pi. Il utilise les points A et B ainsi que le cercle dont un rayon est AB pour déterminer l'ensemble des points recherchés.
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Lieu géométrique avec le module

Dans cette vidéo, Paul explique comment déterminer le lieu géométrique des points M dont la fixe Z vérifie des relations sur le module. Il commence par assimiler le plan complexe au repère OUV et pose Z égale à A plus IB pour faciliter les calculs. En calculant les carrés des modules, il simplifie les relations et détermine que l'ensemble des points M est la droite OU, soit la droite des réelles. Il répète ce processus pour la deuxième question et trouve que l'ensemble des points M est également la droite des réelles. En résumé, Paul parle de la géométrie des nombres complexes en déterminant l'ensemble des points satisfaisant des conditions sur le module, et trouve dans ce cas deux droites des réelles.