Cours d'apprentissage en ligne

Valeurs de cos et sin

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons faire un exercice sur les valeurs remarquables du cosinus et du sinus, différentes de celles que vous connaissez déjà par cœur, comme π/6, π/4, π/3, π/2, etc. Nous allons nous concentrer sur le cosinus π/8 et le sinus π/8, qui peuvent être démontrés. Dans cet exercice, on nous donne le cosinus de π/8 et nous devons trouver le sinus de π/8. Pour cela, nous utilisons la formule cos²θ + sin²θ = 1. Nous pouvons donc immédiatement en déduire que sin²θ = 1 - cos²θ. Simplifions un peu : lorsque nous mettons au carré, les racines disparaissent et le 4 devient 2, mais nous avons toujours des numérateurs. Nous obtenons donc sin²θ = 2 - √2/2. Faites attention à justifier cette démarche : nous supprimons les carrés, donc nous prenons la racine, ce qui nous permet de conclure que sin(π/8) est supérieur à 0, car π/8 est dans le premier quadrant, entre 0 et π/2, donc nous savons qu'il est positif. Étant donné que c'est positif, nous pouvons prendre la racine de ce nombre, qui est donc √2 - √2/2. Voilà pour le sinus de π/8. Il est important de rappeler que lorsque nous avons une équation de la forme x² = A, nous avons deux solutions possibles : x = √A (si A est positif, ce qui est le cas ici) ou x = -√A. Par exemple, si nous n'avions aucune idée de la valeur du sinus de π/8, nous aurions dû considérer l'autre option. Mais comme nous savons que c'est positif, nous utilisons cette valeur. Voilà un exemple d'exercice où l'on nous demande de calculer les valeurs exactes du sinus ou du cosinus d'un angle remarquable.

Introduction Primitives

Le chapitre des primitives est basé sur la notion d'antidérivation, qui consiste à trouver une fonction telle que sa dérivée soit la fonction à dériver. On appelle cette fonction la primitive. Pour trouver celle-ci, on utilise un tableau de dérivation avec quelques nuances à connaître. Les applications des primitives sont présentes en physique, chimie, économie, etc. Pour réussir ce chapitre, il faut connaître la définition, savoir déterminer l'ensemble des primitives d'une fonction, transformer l'écriture d'une fonction pour obtenir les bonnes primitives et enfin, savoir déterminer les primitives des fonctions composées.

Primitive : Définition

Une primitive d'une fonction f définie sur un intervalle i réel est une fonction F qui est solution de l'équation différentielle y' = f. Une fonction F est primitive de f lorsque pour toute x de l'intervalle de définition, F'(x) = f(x). Il existe un tableau de primitives qu'il faut connaître par cœur pour répondre aux questions sur les primitives. Souvenez-vous également que la dérivée d'une constante est nulle, donc quand vous décrivez l'ensemble des primitifs possibles, n'oubliez pas d'ajouter une constante. Il y a une infinité de fonctions qui ont la même valeur dérivée, toutes celles qui sont la même mais translatées vers le haut ou vers le bas. Les fonctions xⁿ deviennent xⁿ⁺¹ / n⁺¹, toujours plus k, et il y a d'autres fonctions à connaître.

Existence et Calcul des Primitives

Ce cours explique les théorèmes importants sur les primitives. Le premier théorème stipule que toute fonction continue sur un intervalle a des primitives sur l'intervalle. Le deuxième théorème indique que pour tout réel de l'ensemble des définitions de base, s'il y a une valeur y0, il y a une primitive unique parmi toutes les primitives qui passe exactement par ce point. Le troisième théorème expose que l'ensemble de toutes les primitives équivaut à l'ensemble des F plus K. Ces théorèmes sont essentiels pour comprendre les primitives.

Primitives : condition initiale

Dans cet exercice, il s'agit de vérifier qu'une fonction composée est bien une primitive d'une fonction donnée, puis d'en déduire l'ensemble des primitives de cette fonction. Pour cela, on regarde l'ensemble de définition de dérivabilité, et on dérive la fonction composée pour vérifier qu'elle retombe bien sur la fonction donnée. On précise qu'il y a une infinité de primitives possibles définies à une constante additive près. Ensuite, on cherche à déterminer l'unique primitive qui prend une valeur fixe donnée, appelée condition initiale. L'ensemble des primitives de cette fonction est de la forme F(x) + ln(x) + K où K est une constante réelle, et la primitive qui s'annule à une valeur donnée est de la forme F(x) + ln(x) - 1 - E³. Cet exercice introduit les méthodes sur les primitives, utiles notamment pour la résolution des équations différentielles.

Transformer puis primitiver

Apprenez comment trouver une primitive à partir d'une fonction sur laquelle a priori on ne la trouve pas. Pour cela, vous pouvez utiliser la méthode d'identification sous la forme u prime fois u, ou la décomposition en éléments simples si vous avez une fonction rationnelle. Par exemple, pour la fonction f de x qui a la 3x² plus 2 facteur de x au cube plus 2x, vous pouvez trouver la primitive en identifiant u prime qui est égal à 3x² plus 2, et vous obtenez 1 demi de x au cube plus 2x au carré plus une constante. Pour la fonction rationnelle g qui est aussi sous forme d'un produit au dénominateur, vous pouvez utiliser la décomposition en éléments simples en trouvant les réels a et b tels que g de x soit égal à a sur x plus b sur x-1. Dans ce cas, vous pouvez calculer la primitive de chacune d'entre elles, et identifier facilement la primitive de g qui est ln de x moins 1 plus moins ln de x. Gardez à l'esprit que selon l'intervalle de définition, une fonction peut avoir des primitives qui ont une expression différente, comme dans le cas de la fonction 1 sur x qui a des primitives différentes sur r étoile moins et sur r étoile plus.

Composition et Primitives

Dans ce cours, nous apprenons à repérer des formes de fonctions composées afin de trouver plus facilement leurs primitives. Certaines formes comme U' sur racine de U, cos U fois U', U' x sin U, U' x E2U et U' sur U^n reviennent souvent et sont faciles à primitiver. L'opération inverse implique également la connaissance des dérivées des mêmes formes. La constante multiplicative n'est pas un problème et peut être trouvée en effectuant une bête décomposition. En prenant un exemple de fonction exponentielle U', nous avons vu comment trouver ses primitives en ajoutant le coefficient manquant et en utilisant la constante multiplicative. Toutes les primitives sont de la forme 1/6e de e^3x²-5 plus une constante, et sont fonctions de la forme de la fonction découvertes.

Introduction ED

L'introduction sur les équations différentielles explique les définitions de base. Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnu est une fonction. Les inconnues de l'équation différentielle sont des fonctions, que l'on appelle « petite y », comparativement aux inconnues réelles que l'on appelle « petite x ». Par exemple, pour une fonction donnée « petite f », l'équation « petite y'f» est une primitive permettant de trouver les fonctions qui se dérivent pour former la fonction de base. Les équations différentielles ont des applications fréquentes en physique pour résoudre des problèmes dans lesquels la vitesse de variation d'une grandeur dépend de sa position ou de la valeur de cette grandeur. L'illustration avec un thé qui refroidit est un exemple de la façon dont une équation différentielle peut être utilisée pour décrire ce processus. Les méthodes pour résoudre les équations différentielles comprennent les équations homogènes, les équations linéaires simples et une méthode qui combine les deux. Les solutions peuvent être des fonctions de base, telles que y'ay pour les équations homogènes, y'ay'b pour une linéaire simple, ou la méthode y'ay'ay'y'b'y'y'b'y'b'y'b' pour les deux. Les équations différentielles sont courantes en physique et en mathématiques, et leur résolution est un sujet important pour de nombreuses applications pratiques.

ED : définitions de base

Dans ce cours, on apprend les équations différentielles homogènes, qui sont des équations de la forme y'à y avec un réel non nul. Les solutions de ces équations prennent la forme k fois exponentielle à x, où k peut être n'importe quel réel non nul. Cependant, si on fixe un point de départ y0 à la fonction, il n'y a qu'une seule fonction exponentielle à x qui vérifie f de x0 égal y0.La démonstration pour trouver les solutions exponentielles à x commence en posant une g de x égale exponentielle moins a à x fois f de x. Ensuite, on montre que g est une constante en dérivant et en montrant que g' est égal à 0. Enfin, on dégage la constante c dans f' de x égale c fois exponentielle ax pour trouver la solution complète.Il est à noter que la méthode de la démonstration est utilisée pour mieux comprendre comment les résultats sont obtenus et sa nécessité doit être respectée, même si elle paraît complexe. De plus, cela peut aider les étudiants à résoudre les problèmes.

Solutions Particulières

En bref, les équations différentielles non homogènes ont la forme Y'=Ay+F, où F peut être n'importe quelle fonction. La solution à cela est la somme d'une solution homogène Y'=Ay et d'une solution particulière U, telle que U'=Ay+F. Il existe des cas où U peut être trouvée en s'inspirant de la famille de la fonction F, par exemple, si F est une fonction affine, U sera une fonction affine aussi. Le cas le plus simple à retenir du programme est celui où F est constante, où la solution particulière est U=(-B/A), qui est constante. Ajouter cette solution particulière à la solution homogène donne la solution générale à l'équation. La démonstration de ce cas est que U=C, avec C constant, est posée dans l'équation et résolue pour trouver que la seule valeur possible de C est (-B/A).

Équation y'=ay

Dans cette méthode, il est expliqué comment résoudre une équation différentielle de premier ordre à coefficient constant. L'équation y' = y est étudiée plus spécifiquement, où dans cet exemple particulier, on a 3y' = 2y. Après avoir divisé par 3, on obtient y' = 2/3 y, ce qui correspond à la forme y' = y avec a = 2/3. On sait que les solutions sont de la forme k * e^(ax), donc dans ce cas k * e^(2/3 x), avec k appartenant à R réel. Ensuite, on nous demande de donner l'allure des courbes solutions en faisant varier la constante k. Des exemples sont donnés avec différentes valeurs de k, où on voit que plus k augmente, plus la courbe se "décolle" et devient une exponentielle avec une constante multiplicative. Toutes ces courbes ont la même allure. Ensuite, on nous demande de trouver la courbe qui vérifie f(1) = e. On sait que lorsque l'on a une condition particulière, il y aura une solution unique qui vérifiera à la fois l'équation différentielle et cette condition. Ici, on veut que f(1) = e, donc on cherche à déterminer la valeur de k. En remplaçant x par 1 dans la fonction f(x), on obtient une équation simple en k, qu'on résout pour trouver k = e^(1/3). Ainsi, la solution de l'équation différentielle avec la condition f(1) = e est f(x) = e^(1/3) * e^(2/3 x). Il s'agit d'une méthode classique pour résoudre une équation différentielle du type y' = y avec une condition initiale. Pour plus de détails, référez-vous à la FAQ en cas de questions.