Cours d'apprentissage en ligne

Axes de symétrie d’une fonction

Dans cette vidéo, Corentin aborde les notions fondamentales d'axes et de centres de symétrie. Il présente quatre questions avec leur résolution. La première question demande de montrer que la droite d'équation x égale à 3 demi est un axe de symétrie du graph de la fonction. La seconde demande de montrer que le point de coordonnée 1,2 est un centre de symétrie, la troisième demande de montrer que le point de coordonnée 0,5 est un centre de symétrie, et la quatrième demande d'étudier les symétries de la courbe représentative de la fonction. Corentin rappelle également ce qu'est un axe et un centre de symétrie. Il propose de faire une représentation graphique de la fonction pour trouver les axes et centres de symétrie. Il conclut en expliquant que plusieurs axes de symétrie peuvent exister pour une fonction, d'où l'utilisation de la notation pour les montrer.

Fonction bornée

Dans ce cours, nous abordons l'exercice de démontrer que deux fonctions sont bornées sur R. La première fonction est f(x) = x^2 / (x^2 + 1) et la deuxième fonction est g(x) = x / (x^2 + 1). Pour démontrer que ces fonctions sont bornées, nous utilisons le rappel que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Pour la première fonction, nous remarquons que la limite de f(x) lorsque x tend vers l'infini est égale à 1, de même que la limite de f(x) lorsque x tend vers moins l'infini. En utilisant la définition de limite, nous trouvons deux réels a1 et a2 tels que pour tout x supérieur ou égal à a1, f(x) est compris entre 1 - epsilon et 1 + epsilon, et pour tout x inférieur ou égal à a2, f(x) est compris entre 1 - epsilon et 1 + epsilon. En utilisant le fait que f(x) est continue sur le segment [a2, a1], nous trouvons un petit m et un grand m tels que pour tout x dans ce segment, f(x) est compris entre m et M. Ainsi, pour tout x dans R, f(x) est compris entre le minimum de 1 - epsilon et m et le maximum de 1 + epsilon et M. Nous remarquons que ces bornes sont indépendantes de x, ce qui nous permet de conclure que f(x) est bornée sur R. Pour la deuxième fonction, nous remarquons que la limite de g(x) lorsque x tend vers l'infini et lorsque x tend vers moins l'infini est égale à 0. En utilisant la définition de limite, nous trouvons deux réels a1 et a2 tels que pour tout x supérieur ou égal à a1, g(x) est compris entre 0 et epsilon, et pour tout x inférieur ou égal à a2, g(x) est compris entre 0 et epsilon. En utilisant le fait que g(x) est continue sur le segment [a1, a2], nous trouvons un petit m et un grand m tels que pour tout x dans ce segment, g(x) est compris entre m et M. Ainsi, pour tout x dans R, g(x) est compris entre le minimum entre m et -epsilon et le maximum entre M et epsilon. Nous concluons donc que g(x) est bornée sur R. En résumé, les deux fonctions f(x) = x^2 / (x^2 + 1) et g(x) = x / (x^2 + 1) sont toutes les deux bornées sur R selon les démonstrations effectuées ci-dessus.

Parité et dérivation

Aujourd'hui, nous abordons un exercice intéressant qui traite de la parité, de l'imparité des fonctions et de la dérivation. On considère une fonction F de R dans R, dérivable sur R, et on veut montrer que si F est paire, sa dérivée est impaire, et si F est impaire, sa dérivée est paire. Nous allons également généraliser cette propriété aux dérivées d'ordre supérieur et nous poser des questions sur les primitives. Pour commencer, montrons que si F est paire, sa dérivée est impaire. Soit X dans le domaine de définition de F'. Comme F est paire, on sait que F(X) = F(-X). En dérivant cette égalité, on obtient F'(X) = -F'(-X). En réinjectant cette égalité dans notre première équation, on en déduit que F'(X) = -F'(X), donc F' est impaire. De même, montrons que si F est impaire, sa dérivée est paire. Soit X dans le domaine de définition de F'. Comme F est impaire, on a F(X) = -F(-X). En dérivant cette égalité, on obtient F'(X) = F'(-X). En utilisant la formule de dérivation de la composée, on conclut que F' est paire. Maintenant, généralisons le résultat. Supposons que F est une fonction paire. Par récurrence sur N, on veut montrer que F^(2N+1) est impaire et F^(2N) est paire. L'intuition vient du fait que lorsqu'on dérive une fois, on change la parité, mais lorsque l'on dérive deux fois, on retrouve la parité initiale. Pour prouver cela, on commence avec des petites valeurs de N. La base de la récurrence H1 a déjà été démontrée. Maintenant, montrons l'hérédité. En supposant que F^(2N+1) est impaire, en dérivant, on trouve que F^(2N+2) est paire. En dérivant encore une fois, on obtient que F^(2N+3) est impaire. En réalité, cette récurrence aurait pu être immédiate, mais l'écriture formelle est nécessaire pour la clarté. Maintenant, voyons un contre-exemple. Nous prenons la fonction f(x) = x². Nous savons que cette fonction est paire. Cependant, en intégrant f(x), nous obtenons la fonction F(x) = x³/3 + 6, qui n'est ni paire ni impaire. Cela nous rappelle qu'une primitive d'une fonction n'est pas unique. En conclusion, nous avons montré que si F est une fonction paire, sa dérivée est impaire, et si F est impaire, sa dérivée est paire. Nous avons également généralisé cette propriété aux dérivées d'ordre supérieur. Cependant, il faut faire attention car les primitives d'une fonction ne sont pas toujours paires ou impaires.

Dérivabilité par la définition formelle

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice mathématique portant sur le prolongement par continuité d'une fonction, sa dérivabilité et la continuité de sa dérivée. La fonction en question, notée f, est définie comme étant le produit de x au carré et du sinus de 1 sur x. Corentin commence par montrer que f peut être prolongée par continuité en 0. Il explique que f est continue sur l'ensemble des nombres réels positifs, car il s'agit du produit et de la composition de fonctions continues. Ensuite, il prouve que f a une limite finie en 0 en utilisant une inégalité et le concept d'encadrement. Ensuite, Corentin montre que f est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Il fait remarquer que f est dérivable sur les réels positifs, en utilisant le produit et la composition de fonctions dérivables. Pour prouver la dérivabilité en 0, il calcule le taux d'accroissement et montre que celui-ci tend vers 0 lorsque la variable tend vers 0. Enfin, Corentin démontre que la dérivée de f, notée f', n'est pas continue en 0. Il utilise la caractérisation séquentielle de la limite pour montrer qu'il existe une suite qui tend vers 0, mais dont la dérivée tend vers une valeur différente de 0. Par conséquent, il conclut que f n'est pas de classe C1 sur l'ensemble des nombres réels.

Inégalités classiques !

Dans cette vidéo, l'importance de maîtriser trois inégalités classiques est soulignée. La première inégalité concerne sin x qui est inférieur ou égal à x pour x supérieure ou égale à 0. Pour la démontrer, il suffit de poser la fonction qui a x associé sin x moins x et de montrer qu'elle est décroissante pour toute x dans R+. La seconde inégalité concerne exponentielle de x qui est supérieure ou égale à 1 plus x pour toute x dans R+. Cette inégalité est démontrée en utilisant le caractère convexe de la fonction exponentielle sur R. Enfin, la troisième inégalité concerne ln de 1 plus x qui est inférieur ou égal à x pour toute x dans moins 1 plus l'infini. Cette inégalité peut être démontrée en utilisant le caractère concave de la fonction ln de 1 plus x sur moins 1 plus l'infini.

Fonction réciproque

Dans ce cours, Corentin aborde le thème des fonctions à une variable réelle. Il commence par expliquer qu'il va montrer que la fonction f, qui est un polynôme de degré 3, admet une fonction réciproque g sur R. Il montre ensuite que g est dérivable sur R et exprime sa dérivée, g', en fonction de g. Ensuite, il démontre que g est deux fois dérivable sur R et exprime g'' en fonction de g. Enfin, il donne la valeur de g'' évaluée en 0. Pour montrer que f admet une fonction réciproque g, Corentin utilise le fait que f est continue et dérivable sur R. Il montre que f est strictement croissante sur R et qu'elle tend vers plus l'infini en plus l'infini et vers moins l'infini en moins l'infini. Il conclut que f est bijective de R dans R, ce qui implique qu'elle admet une fonction réciproque g. Ensuite, Corentin démontre que g est dérivable en utilisant un rappel qui stipule que si f est dérivable et bijective, avec f' strictement positif sur son domaine de définition, alors sa fonction réciproque g est dérivable sur l'image du domaine de définition de f par f. Il montre que les hypothèses sont vérifiées dans le cas de f, donc g est dérivable et g' est égal à 1 sur f' composé avec g. Il remplace ensuite cette expression par une formule spécifique à f, et en dérive pour obtenir l'expression de g'. Enfin, Corentin détermine g' évaluée en 0 en remplaçant g' par cette valeur et obtient que g'(0) est égal à moins 1 sur 36.

Fonction C1

Dans cet exercice, nous devons déterminer si deux fonctions sont dérivables sur l'ensemble des réels. La première fonction f est clairement continue et dérivable sur l'ensemble des réels sauf en 0. Nous montrons que f est dérivable en 0 en utilisant la définition du nombre dérivé et nous obtenons que f' de 0 est égal à 0. Nous montrons ensuite que f' n'est pas continue en 0, donc f n'est pas séante sur l'ensemble des réels.La deuxième fonction g est similaire à f, mais multipliée par x³. Nous montrons que g est séante sur l'ensemble des réels sauf en 0 et qu'elle est dérivable en 0 en utilisant la même méthode que pour f. Enfin, nous montrons que g' est continue en 0, donc g est séante sur l'ensemble des réels.

Dérivée d’une composée

Dans cet exercice, nous devons montrer que la dérivée de la fonction f de x est égale à un polynôme Q de 1 sur 1 moins x fois l'exponentiel de 1 sur 1 moins x, et trouver la relation entre le polynôme P et le polynôme Q. Pour commencer, nous dérivons la fonction f prime de x, en utilisant la règle du produit. La dérivée de la partie gauche du produit est P prime de 1 sur 1 moins x fois 1 moins x au carré, multipliée par l'exponentiel de 1 sur 1 moins x. En dérivant la partie droite du produit, nous obtenons P de 1 sur 1 moins x fois 1 sur 1 moins x au carré fois l'exponentiel de 1 sur 1 moins x. Ensuite, nous factorisons par l'exponentiel de 1 sur 1 moins x et introduisons un polynôme Q de 1 sur 1 moins x, qui est égal à P prime de 1 sur 1 moins x plus P de 1 sur 1 moins x fois 1 sur 1 moins x au carré. En posant Q de x égal à P prime de x plus P de x fois x au carré, nous obtenons notre polynôme Q et la relation qui lie Q à P. Cet exercice est relativement simple, mais il est important de le comprendre car ce mécanisme revient fréquemment aussi bien aux oraux des concours qu'aux épreuves écrites.

Dérivée n-ième

Corentin donne un exercice de dérivation de la fonction f qui est le produit de deux fonctions, x^2 et ln(1+x), à dériver n fois. Il rappelle la formule de Leibniz pour le produit de deux fonctions et identifie les fonctions g et h nécessaires pour l'appliquer. En dérivant h, il remarque que pour k>=3, la dérivée est égale à 0, tandis que pour g, il effectue plusieurs dérivations avant d'obtenir une formule générale pour g dérivée k fois. En utilisant la formule de Leibniz et en factorisant, il simplifie les calculs et obtient une expression pour v(x) qui est ensuite développée et simplifiée. Finalement, il obtient une expression pour la dérivée n fois de f en fonction de x. Il souligne l'importance de simplifier les calculs et de découper le travail pour rendre l'exercice plus facile.

Tangente

Dans cet exercice, nous cherchons à démontrer l'existence d'une unique tangente commune aux courbes d'équation y = x² et y = 1/x. Pour cela, nous commençons par rappeler l'équation d'une tangente en A, qui est f '(A) * (x - A) + f '(A). Nous posons ensuite f(x) = x² et A ∈ R. La tangente à f en A est donc égale à 2Ax - A². De même, nous posons h(x) = 1/x et nous calculons la tangente de h en B en dérivant pour avoir le coefficient directeur. Nous trouvons ainsi que la tangente de h en B est égale à -x/B² + 2B. Pour que les tangentes coïncident, nous égalisons les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine. Ainsi, nous obtenons 2A = -1/B² et -A² = 2/B. Il est important de noter que A et B sont des inconnus qu'il faut déterminer. En résolvant le système linéaire et en factorisant, nous trouvons que A = -2 et B = -1.5. Nous vérifions alors que les tangentes en A = -2 et B = -1.5 coïncident.

Inégalités par étude de fonction

Dans cette vidéo, Corentin explique un exercice d'étude de fonction. Il commence par montrer que la fonction f est dérivable sur R+ et calcule la dérivée f'(x). En étudiant le signe de cette dérivée, il détermine que f atteint un minimum en 1. Ensuite, il démontre une inégalité en utilisant les résultats précédents. Il montre que pour tout x dans R+ et y dans R+, x+y^n est inférieur ou égal à 2^n-1 * x^n + y^n. Pour ce faire, il réutilise l'inégalité précédente en divisant par y^n et fait une substitution en posant u = x/y. En conclusion, pour tout couple (x,y) dans R+², on a x+y^n ≤ 2^n-1 * x^n + y^n.