Cours d'apprentissage en ligne

Coordonnées entières

Dans cet exercice, on utilise les équations diophantiennes pour montrer que le point M appartient à la droite à B en utilisant les vecteurs AM et AB qui doivent être collinéaires. On obtient l'équation diophantienne 3x-5y=11, qui admet des solutions entières et une solution particulière (7,2). L'ensemble des solutions pour les coordonnées entières appartenant à la droite à B est donné par x=5k+7 et y=3k+2.

√2 est irrationnel : démo

Dans cet exercice, on démontre que la racine de 2 est irrationnelle en utilisant le raisonnement par l'absurde. On suppose que la racine de 2 est rationnelle, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous forme de p/q, avec p et q premiers entre eux. En faisant des calculs, on obtient une contradiction, parce que p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit le fait qu'ils soient premiers entre eux. Donc, la racine de 2 ne peut pas être écrite sous forme de p/q avec p et q premiers entre eux, et donc elle est irrationnelle.

Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice mathématique, nous devons trouver des solutions à une équation diophantienne restreinte aux valeurs positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il y a au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il y a au moins une solution. Si Y est non nul, on est plus grand que S. Donc Y doit être égal à 0 et X doit être entre 0 et 2. Les valeurs possibles pour S pour avoir des solutions sont 0, 2 et 4. Pour montrer que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N², nous utilisons la récurrence. Nous montrons que P de 4 est vrai et que P de S plus 1 est vrai si P de S est vrai. Nous distinguons le cas où Y est égal à 0 et où Y est supérieur ou égal à 1. Nous montrons que l'équation admet au moins une solution dans N² si S est supérieur ou égal à 4.

Racine rationnelle de polynôme

Dans cet exercice, nous devons montrer qu'un polynôme a une racine rationnelle. Pour cela, nous devons prouver que si p/q est une racine du polynôme, alors p divise 3 et q divise 2. Nous simplifions l'expression et obtenons une équation où nous factorisons par p et q. En utilisant le théorème de Gauss, nous prouvons que p divise 3 et q divise 2. Nous déduisons ensuite que le polynôme admet une racine rationnelle en testant les différentes combinaisons possibles pour p et q. Finalement, nous trouvons que la seule racine rationnelle de ce polynôme est -3/2.

Base cylindrique

Dans ce cours, Layla explique l'importance de savoir projeter des vecteurs d'une base à une autre en mécanique. Pour ce faire, elle explique les bases cylindrique et cartésienne, puis donne les formules pour exprimer les vecteurs de la base cylindrique en fonction de ceux de la base cartésienne. Elle conseille de zoomer sur la partie de la projection pour avoir une meilleure compréhension. Enfin, Layla invite les étudiants à poser leurs questions en commentaire.

Vitesse et accélération

Dans ce cours, Leïla explique comment exprimer la vitesse et l'accélération d'un point en coordonnées cylindriques. Elle utilise la formule OM = RER + ZEZ pour déterminer le vecteur déplacement. Elle note que ER change en fonction de la base, mais EZ est fixe. Elle mentionne également la formule DER/Dt = θ.eθ et DET/Dt = -θ.er pour dériver les vecteurs mobiles par rapport au temps. Pour la vitesse, elle dérive le vecteur position par rapport au temps et applique la formule DER/Dt = θ.eθ pour obtenir l'expression de la vitesse en coordonnées cylindriques R.ERθ.ez. Pour l'accélération, elle dérive la vitesse et applique la formule des produits de trois termes pour obtenir l'expression de l'accélération en coordonnées cylindriques. Elle insiste sur l'importance de connaître cette formule pour résoudre les problèmes de mécanique en base cylindrique.

Mouvement circulaire

Dans cette vidéo, Leïla décompose le mouvement circulaire en coordonnées polaires, avec les vecteurs ER et Eθ. Elle rappelle l'importance de se souvenir de l'encadré de la dérivée des vecteurs de la base mobile pour manipuler des mouvements circulaires ou des coordonnées cylindriques. Pour exprimer la vitesse et l'accélération d'un point M, elle utilise la formule V = Rθ pour la vitesse et A = DV/DT Eθ - V²/R ER pour l'accélération, en accédant directement à la vitesse en norme.

Course-poursuite

Le sujet de cet exercice de cinématique est la loi horaire. Un conducteur roule à une vitesse constante sur une route rectiligne. Un gendarme qui démarre à l'instant où la voiture passe à sa hauteur accélère uniformément. Les lois horaires sont utilisées pour déterminer le temps nécessaire au gendarme pour rattraper la voiture, la distance parcourue et la vitesse atteinte. Pour le conducteur, la vitesse est constante à 100 km/h, donc sa position est donnée par Xc(t) = V0t. Pour le gendarme, son accélération est constante A0, donc sa vitesse est donnée par Vg(t) = A0t et sa position est calculée par Xg(t) = 0.5*A0t². En utilisant ces lois horaires, on peut déterminer que le gendarme rattrape la voiture en 22 secondes, parcourt une distance de 617 mètres et atteint une vitesse de 55,5 m/s.

Accélération et décélération

Dans ce cours de cinématique, Leïla nous explique comment mesurer l'accélération et la décélération d'une voiture en utilisant un test d'accélération chronométré en ligne droite, et comment appliquer ces concepts en sport automobile. Elle nous donne un exemple de calcul d'accélération en utilisant la distance parcourue et le temps chronométré, puis un exemple de calcul de distance d'arrêt en utilisant une décélération donnée. Elle explique la modélisation nécessaire pour prendre en compte les changements d'accélération et les nouvelles origines des temps. En utilisant les lois horaires de la vitesse, de l'accélération et de la position, elle montre comment calculer la vitesse atteinte à une distance donnée et la distance d'arrêt pour une décélération donnée.

Ballon Sonde

Dans cet exercice, nous modélisons un ballon sonde par un point matériel avec pour coordonnées x de t et z de t. Le ballon est lâché depuis le point 0 à l'instant t=0 et a une vitesse verticale constante de v0 tout au long de son mouvement. En plus, une vitesse horizontale vx, positive et proportionnelle à son altitude, est transmise par le vent. Z de t vérifie une équation différentielle simple, z point est égale à v0. Nous résolvons cette équation différentielle pour obtenir z de t égal à v0 t. Nous obtenons l'expression de vx en fonction de z qui nous permet d'calculer x de t. Ensuite, nous obtenons l'équation de la trajectoire du ballon, z en fonction de x, qui est en forme de racine. Nous suggérons de tracer les z points de la courbe et d'interpréter les informations sur la vitesse et l'accélération. L'accélération est nulle selon z et v0 sur taux selon x. N'oubliez pas de bien faire attention à l'orientation des vecteurs.

Hélice circulaire

Le cours concerne l'exercice pratique sur l'hélice circulaire où un point matériel suit un mouvement dans une direction de coordonnées cylindriques constantes. Le module de la vitesse est constant et il est calculé en prenant la racine carrée de ce qui se passe selon θ au carré et selon Z au carré, et il est indépendant du temps. Toutefois, le mouvement peut changer de direction avec Eθ, donc la vitesse n'est pas constante. L'accélération est obtenue en dérivant la vitesse par rapport au temps et en prenant en compte les coordonnées cylindriques. L'exercice a été résolu en utilisant les lois horaires et les vecteurs ER et Eθ.