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Révisions Maths lycée
Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Distance d'un point à un plan
Le cours traite de la méthode classique pour déterminer la distance entre un point et un plan dans l'espace. La distance minimale entre le point et le plan est appelée distance entre un point et un plan. La distance minimale est obtenue en effectuant une projection orthogonale du point sur le plan. Une formule, souvent apprise par cœur, permet de calculer cette distance. Elle utilise les coordonnées du point et un vecteur normal au plan. Dans le cours, un exemple est donné pour illustrer le calcul de la distance entre un point et un plan en utilisant cette formule. Le point C est donné, ainsi qu'un vecteur normal au plan. En utilisant les coordonnées du point et le vecteur normal, on peut exprimer les coordonnées du point H, qui est le projeté orthogonal du point C sur le plan. La distance entre le point C et le plan est ensuite calculée en utilisant la norme du vecteur résultant. La formule détaillée ainsi que les calculs sont expliqués pas à pas dans le cours.
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Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Distance entre deux droites non coplanaires
Dans cet exercice, nous devons trouver une équation paramétrique pour deux droites données, montrer qu'elles ne sont pas coplanaires et vérifier que certains points appartiennent à ces droites. Ensuite, nous devons démontrer que HK est la perpendiculaire commune entre ces deux droites et calculer la distance entre elles.
Tout d'abord, nous avons un point et un vecteur directeur pour chaque droite, ce qui nous permet de trouver une équation paramétrique basique pour chaque droite. Ensuite, nous devons démontrer qu'elles ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire qu'elles ne sont ni parallèles ni avec aucun point d'intersection. Nous utilisons un raisonnement par l'absurde pour montrer qu'il n'est pas possible de trouver des valeurs cohérentes pour les paramètres dans les équations des deux droites.
Ensuite, nous vérifions que certains points appartiennent à ces droites en résolvant les équations paramétriques pour trouver les valeurs des paramètres correspondants. Ensuite, nous montrons que HK est la perpendiculaire commune en vérifiant que les vecteurs directeurs des droites sont orthogonaux à HK.
Enfin, la distance entre les droites est définie comme la distance entre les points H et K, que nous calculons en utilisant la norme du vecteur HK.
Cet exercice nécessite un dessin pour mieux comprendre et une bonne compréhension des concepts de droites paramétriques, de coplanarité et d'orthogonalité.
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Géométrie Terminale
BCPST
Distance d'un point à un plan
La méthode classique pour déterminer la distance entre un point dans l'espace et un plan consiste à prendre la distance minimale. Cela peut être visualisé comme une projection orthogonale où l'on descend perpendiculairement depuis le point jusqu'au plan. La formule de distance entre un plan P et un point A est donnée par l'équation |Ax + By + Cz + D| / ||n||, où (x, y, z) sont les coordonnées du point A, (A, B, C) est un vecteur normal au plan P, et D est une constante.
Dans ce cours, nous prenons un point C et un plan avec une équation de la forme Ax + By + Cz + D = 0. Nous trouvons un vecteur normal au plan, noté n, et utilisons cette formule pour calculer la distance entre le point C et le plan. Pour trouver le point H, qui est le projeté orthogonal du point C sur le plan, nous posons des coordonnées XH, YH, ZH et définissons les conditions pour que CH soit parallèle à n et que H appartienne au plan. En résolvant ces conditions, nous obtenons des expressions en fonction d'un paramètre lambda, que nous substituons dans l'équation du plan pour trouver les coordonnées exactes de H.
En utilisant les coordonnées de H, nous pouvons alors calculer la distance CH, qui est la distance de projection entre le point C et le plan. En utilisant le facteur de proportionnalité lambda entre CH et n, nous obtenons la norme de CH, qui est la distance minimale entre le point C et le plan. Cette distance peut être calculée en utilisant la norme de n.
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Géométrie Terminale
BCPST
Distance entre deux droites non coplanaires
Dans cet exercice, nous devons trouver une équation paramétrique pour deux droites, montrer qu'elles ne sont pas coplanaires, vérifier que certains points appartiennent à ces droites, démontrer que la droite HK est perpendiculaire aux deux droites et calculer la distance entre ces droites.
Pour commencer, nous avons un point et un vecteur directeur pour chaque droite, ce qui nous permet de trouver des équations paramétriques de ces droites. Ensuite, nous devons montrer qu'elles ne sont pas coplanaires, ce qui signifie qu'elles ne sont ni parallèles ni ne se croisent.
Ensuite, nous devons vérifier si certains points sont sur ces droites, ce qui nous permet de calculer la perpendiculaire commune entre les droites D et D'. Nous utilisons également le dessin pour nous aider à visualiser la situation.
Enfin, nous calculons la distance entre les deux droites en utilisant la distance HK, qui correspond à la norme du vecteur HK. Cet exercice peut être un peu long mais reste faisable avec de la confiance et une bonne compréhension des concepts.
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Géométrie Terminale
ECG
Distance d'un point à un plan
La méthode classique pour déterminer la distance entre un point de l'espace et un plan est la distance minimale, appelée distance entre un point et un plan. Pour calculer cette distance, on utilise une projection orthogonale. La formule de la distance entre un plan P et un point A est la suivante :
Distance = |(Ax + By + Cz + D)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
On prend les coordonnées du point A et on les substitue dans l'équation du plan P. On divise ensuite le résultat par la norme du vecteur normal du plan.
Pour trouver la distance entre un point A et le plan, on utilise le projeté orthogonal du point A, appelé H. On cherche les coordonnées exactes de H en posant les conditions suivantes : CH est parallèle à N (vecteur normal du plan) et H appartient au plan.
On utilise ensuite ces conditions pour trouver les coordonnées de H en fonction d'un facteur de proportionnalité lambda. En remplaçant ces coordonnées dans l'équation du plan, on obtient une équation qui nous permet de trouver le lambda. Ensuite, on peut calculer la norme de CH en fonction de lambda et de la norme de N. Cette valeur correspond à la distance entre le point et le plan.
En résumé, pour calculer la distance entre un point et un plan, on trouve d'abord le projeté orthogonal du point sur le plan en utilisant des conditions spécifiques. Ensuite, on utilise ce projeté pour exprimer la distance entre le point et le plan en fonction de la norme du vecteur normal du plan.
(Note: Ce résumé est optimisé pour le référencement SEO et peut donc manquer de certains détails du cours original.)
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ECG
Distance entre deux droites non coplanaires
Dans cet exercice, nous devons trouver une équation paramétrique pour deux droites, montrer qu'elles ne sont pas coplanaires, vérifier que certains points appartiennent à ces droites, démontrer qu'il existe une perpendiculaire commune et calculer la distance entre les droites.
Nous commençons par trouver une équation paramétrique pour chaque droite, en utilisant un point et un vecteur directeur. Ensuite, nous montrons qu'elles ne sont pas coplanaires en démontrant qu'elles ne sont ni parallèles ni ne se croisent.
En supposant qu'il y a un point d'intersection, nous essayons de trouver une contradiction en utilisant les équations paramétriques. Finalement, nous montrons que HK est la perpendiculaire commune aux droites en vérifiant qu'elle est perpendiculaire à chacune des droites.
Pour calculer la distance entre les droites, nous utilisons la norme du vecteur HK.
Cet exercice nécessite une bonne compréhension des concepts de droites paramétriques et de la relation entre les vecteurs directeurs.
(Mots-clés: droites, équation paramétrique, coplanarité, perpendiculaire commune, distance)
