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Famille libre

Ce cours traite de la notion de liberté ou de liaison d'une famille de vecteurs. L'objectif est de déterminer si une famille donnée est libre ou liée en utilisant une méthode classique. On suppose l'existence d'une combinaison linéaire qui lie tous les éléments de la famille ensemble, et on cherche à trouver une contradiction à cette hypothèse. Si une telle combinaison linéaire existe, alors tous les coefficients doivent nécessairement être égaux à zéro, ce qui prouve que la famille est libre. On écrit donc cette combinaison linéaire et on la traduit en un système d'équations, qu'on résout pour trouver les coefficients lambda et mu. Si on trouve que tous les coefficients sont nuls, cela signifie que la famille est libre. On répète cette démarche pour différentes paires de vecteurs de la famille pour déterminer si elles sont libres ou liées. Enfin, pour déterminer si la famille de vecteurs dans son ensemble est libre ou liée, on rédige une nouvelle combinaison linéaire en introduisant des coefficients lambda1, lambda2, et lambda3, et on cherche à trouver si cette combinaison linéaire a une solution unique. Si elle en a, alors la famille est liée, sinon elle est libre. Dans l'exemple donné, on observe que la famille v1, v2, v3 est liée, car il est possible de trouver une combinaison linéaire telle que -2v1 + v2 - v3 = 0, ce qui montre que les trois vecteurs sont liés dans un plan et qu'aucun d'entre eux ne sort de ce plan. Cela signifie que la famille ne couvre pas l'ensemble de l'espace, ce qui fait qu'elle est liée.

Famille liée

Le cours traite des familles libres et de leur complexité croissante dans les exercices proposés. Le thème de l'exercice est l'espace vectoriel et les suites réelles. Trois suites différentes sont considérées : la suite des cosinus nθ, la suite cosinus nθ plus a, et la suite cosinus nθ plus b. Le but est de déterminer si la famille est liée. L'approche utilisée est d'appliquer la formule trigo cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) aux deux suites complexes. En utilisant cette formule, on peut réécrire les deux suites en termes de cos(nθ) et quelques coefficients réels. Cependant, il reste un terme contenant sin(nθ) qui dépend de n et rend la famille difficile à combiner. Pour éliminer ce terme, l'idée est d'utiliser une combinaison des suites en multipliant la première par sin(b) et la deuxième par sin(a), puis en soustrayant les deux résultats. Cela permet d'obtenir une expression ne contenant plus le terme problématique. En reconnaissant une autre formule trigo, on peut écrire une combinaison linéaire des éléments de la famille : cos(nθ) = cos(a) sin(b) - cos(b) sin(a). Cette combinaison linéaire prouve que la famille est liée. L'exercice illustre ainsi la complexité croissante des tests de liberté et la nécessité de développer des compétences pour les résoudre. Le professeur conclut en invitant les étudiants à poser des questions et en promettant une prochaine vidéo.

Liberté et familles de fonctions

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Encore des familles de fonctions

Le cours porte sur la question de savoir si une famille de fonctions est libre ou non. Dans la question 1, on nous donne trois fonctions sinus différentes et on nous demande de montrer si elles sont liées. Tout d'abord, on utilise quelques formules trigonométriques pour exprimer ces fonctions uniquement en fonction de sinus. Ensuite, on montre que deux des fonctions sont liées à sinus x et on fait la même démarche avec la troisième fonction pour obtenir une relation entre les trois fonctions. Ainsi, on conclut que la famille est liée. Dans la question 2, on nous donne une famille de fonctions qui sont des polynômes de degré 1. Au début, l'auteur se perd un peu dans ses calculs, mais réalise finalement que toutes ces fonctions sont en fait des combinaisons linéaires d'une constante et de x. Donc, quel que soit l'élément de la famille, on peut l'exprimer comme une combinaison linéaire des deux premiers éléments de la famille. Donc, toute sous-famille de cette famille est également liée, ce qui signifie que la famille entière est liée. En conclusion, le cours traite de la question de la liberté d'une famille de fonctions. Dans les deux questions abordées, on montre que les familles sont liées, ce qui signifie qu'elles ne sont pas libres. L'auteur souligne également l'importance de prendre du recul et de comprendre les structures mathématiques pour résoudre efficacement ce type d'exercice.