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Les Primitives

Dans cet exercice, nous devons vérifier si la fonction proposée, F(x) = x³ + ln(x), est bien une primitive de la fonction f(x) = 3x² + 1/x. Pour cela, nous allons dériver F(x) pour voir si nous obtenons f(x). En dérivant F(x), nous obtenons 3x² + 1/x, ce qui est bien égal à f(x). Donc F(x) est une primitive de f(x). Cependant, il est important de noter qu'il existe une infinité de primitives de f(x) qui diffèrent par une constante additive. Ainsi, l'ensemble des primitives de f(x) est de la forme F(x) + K, où K est une constante réelle.

Ensuite, nous devons déterminer l'unique primitive de f(x) qui s'annule en un certain point E. Pour cela, nous évaluons F(E) + K et cherchons la valeur de K qui rend cette expression égale à zéro. En calculant F(E), nous obtenons E³ + 1 + K. En résolvant l'équation E³ + 1 + K = 0, nous trouvons que K = -1 - E³. Ainsi, la primitive de f(x) qui s'annule en E est F(x) + K = ln(x) + x³ - 1 - E³.

Cet exercice introduit la notion de primitives et montre leur utilité pour la résolution des équations différentielles. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ si besoin.

Bonjour à tous, on va corriger cet exercice sur les primitives d'une fonction qui vont servir pour la résolution des équations différentielles. Dans cet exercice, on a deux questions. La première, c'est de vérifier qu'une fonction composée est bien primitive de la fonction f qui est présentée dans l'exercice. Et du même coup, on va pouvoir en déduire l'ensemble des primitives de f. C'est une méthode qui est assez pratique. Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, il suffit simplement de la dériver et de voir qu'on retombe sur f. C'est exactement ce qu'on va faire ici. La fonction f est la suivante, c'est f de x égale 3x² plus 1 sur x. On nous demande simplement de vérifier que F, la fonction proposée ici, x³ plus ln de x est bien une primitive de F sur 0 plus infini. Toujours, on regarde l'ensemble de définition de dérivabilité. On a du ln de x, qui est dérivable et défini sur R étoile plus. Pas de problème, je peux dériver sur R étoile plus, et là j'obtiens 3x² plus 1 sur x, avec les opérations sur les dérivés. Donc j'ai bien une primitive de F. Attention, je précise bien ici, c'est une primitive, pas la primitive, parce qu'il y a toujours une infinité de primitives définies à une constante additive près. C'est justement l'objet de la question 2, en déduire l'ensemble des primitives de F, et ensuite déterminer l'unique qui prend E en la valeur 0. Ce qu'on appelle dans les équations différentielles une condition initiale. Ce qui va nous fixer, parmi toutes les solutions possibles, c'est de ne garder que celle qui fonctionne. L'ensemble des primitives de F, c'est celle qu'on a trouvée, plus une constante additive, que j'appelle K, K appartenant R. Elles sont toutes de cette forme. Elles sont toutes de la forme F, x occulte plus ln de x, plus K. K étant un réel. Maintenant on va trouver le réel K, qui fait qu'on va trouver la primitive qui s'annule en E. J'ai appelé grand G ici, la primitive. On a grand G de E qui va être égale à 0. Grand G c'est F plus K. Je regarde la valeur en E, ça fait F de E plus K. Là je calcule la valeur de F de E. Et j'obtiens E cube plus 1 plus K. Tout ça, ça doit faire 0, puisque c'est ce que l'énoncé nous demande. Là ça me donne une équation sur K. Je trouve K égale moins 1 moins E cube. La primitive de F qui s'annule en E, c'est x occulte plus ln de x plus K, qui vaut moins 1 moins E occulte. C'est un exercice d'introduction pour les méthodes sur les primitives, parce que ça va nous être très utile. La résolution des équations différentielles repose principalement sur des calculs, entre autres, de primitives. Si vous avez la moindre question, n'hésitez pas à vous manifester dans la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Primitives : condition initiale

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