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Analyse

Les Primitives

Dans ce cours, nous étudions comment trouver une primitive à partir d'une fonction pour laquelle il n'est pas évident de la trouver. Nous avons vu qu'il est généralement facile de dériver, mais trouver une primitive peut être compliqué. Nous avons pris comme exemple une fonction f(x) égale à 3x^2 + 2x^3 + 2x. Nous avons essayé de l'identifier sous la forme u' * u. Nous avons remarqué que le polynôme de degré 2 correspondait à u(x), et après avoir dérivé, nous avons obtenu que u' était égal à 3x^2 + 2, ce qui correspondait exactement à ce que nous avions au départ. Donc, finalement, nous avons trouvé que la primitive de u' * u était égale à 1/2u^2(x). De là, nous avons pu déterminer une primitive de f(x), qui était donc égale à 1/2(x^3 + 2x)^2. Ensuite, nous avons voulu trouver la primitive qui valait 5 lorsque x était égal à 1. Nous savions que toutes les primitives étaient de la forme f(x) + k, avec k appartenant à R, mais il y avait une seule primitive qui prenait la valeur 5 en x = 1. En résolvant l'équation, nous avons trouvé que k était égal à 1/2. Donc, finalement, la fonction cherchée était 1/2(x^3 + 2x)^2 + 1/2. 
Ensuite, nous avons considéré une nouvelle fonction g qui était aussi un produit, mais cette fois-ci au dénominateur. Nous avons utilisé une méthode classique pour les fonctions rationnelles, appelée décomposition en éléments simples. Nous avons trouvé que g(x) était égal à -1/(x+1) + 1/(x-1). En trouvant les primitives de chaque terme, nous avons obtenu que la primitive de g(x) était -ln(x) + ln(x-1). Après avoir vérifié que la dérivée était correcte, nous avons noté que cette fonction était définie pour x > 1, car g(x) était non définie pour x = 0 et x = 1. De plus, nous avons mentionné qu'une primitive de 1/x était ln(|x|), et qu'il fallait faire attention aux valeurs absolues lorsque la fonction était définie sur plusieurs intervalles. En conclusion, nous avons expliqué deux méthodes pour trouver des primitives : l'identification d'un produit sous la forme u' * u et la décomposition en éléments simples pour les fonctions rationnelles.

Salut à tous ! Alors pour cette méthode ce qu'on va voir c'est comment trouver une primitive à partir d'une fonction sur laquelle a priori on ne la trouve pas. Ce qu'il faut retenir c'est que c'est toujours très facile de dériver, ça aucun problème, par contre trouver une primitive ça peut être compliqué. On sait qu'il en existe toujours mais l'expression peut être pas évidente à trouver. Donc là on va avoir un cas très typique de produit où un produit ça peut ne pas être facile de trouver la primitive. Donc là la fonction qu'on va étudier est cette fonction là f de x qui a la 3x carré plus deux facteurs de x au cube plus 2x et là on va essayer de faire c'est l'identifier sous la forme u prime fois u. Je reconnais en fait ici j'ai un polynôme de degré 2, ici j'ai un polynôme de degré 3 et il se trouve que ça va bien marcher. Donc si je prends x au cube plus 2x qui est égal à u de x, en dérivant je remarque que u prime ça fait 3x carré plus 2. Coup de bol c'est exactement ce que j'ai là-haut. Donc finalement c'est de la forme u prime fois u et ça en fait u prime fois u c'est la dérivée à peu de choses près de u carré de x. Alors en fait il faut toujours retenir que pour une primitive si j'ai un problème de constante multiplicative c'est pas grave du tout. La constante multiplicative je la fais apparaître, disparaître, c'est pas un souci quoi. Donc voilà finalement quand je dérive u carré je vais avoir du 2 quand je fais u carré prime c'est égal à 2 u prime u. Donc j'ai un 2 en trop mais c'est pas grave en fait je fais apparaître un 1 demi et c'est exactement ce que je fais là. Donc en fait une primitive de u prime u c'est 1 demi de u carré. Donc c'est exactement ce que j'écris là. La dérivée de u carré c'est 2 u prime u et donc là je peux déterminer une primitive de f qui est donc 1 demi de u carré et qui vaut 1 demi de x au cube plus 2x le tout au carré. Ensuite on veut déterminer la primitive qui prend 1 la valeur 5. Donc on sait que les primitives sont toutes de la forme celle qu'on a trouvé plus une constante additive k appartenant à R et moi je sais qu'il y a une unique primitive qui prendra la valeur 5 en x égal à 1. Donc très bien je prends une primitive quelconque de la forme f plus k et j'explicite cette condition que g de 1 du niveau f de 1 plus k doit être égal à 5. Donc là je fais les calculs. Très bien ça fait 9 demi plus k et ça doit faire 5. Donc j'ai une équation en k et je trouve que k égale 1 demi. Donc finalement la fonction cherchée c'est 1 demi de x au cube plus 2x au carré plus ma constante 1 demi. Voilà la fonction qu'on cherchait. Ensuite on considère cette fois une nouvelle fonction g qui est aussi sous forme d'un produit mais au dénominateur. Alors là méthode assez classique quand on a un produit au dénominateur on a une fonction rationnelle, c'est à dire un quotient de polynôme. Ici le polynôme numérateur c'est 1 et le polynôme dénominateur c'est xx moins 1. On va faire ce qu'on appelle une décomposition en éléments simples. C'est à dire je vais transformer ce produit en somme. Là c'est l'énoncé qui m'invite à le faire. Je vais trouver les réels a et b tels que g de x soit égal à a sur x plus b sur x moins 1. Donc là c'est très facile à faire cette question si on le fait dans le bon sens. On part de cette expression là pour aller à celle ci et pas le contraire parce que c'est toujours beaucoup plus facile de développer et de mettre le même dénominateur que le contraire que de factoriser. Donc je pars de ça, de la deuxième expression, je mets tout le même dénominateur, je regroupe les termes en x et les termes constants. Donc j'ai a plus b facteur de x moins a sur xx moins 1 et je fais j'identifie. Là ça va être égal à 1 pour tout x. Donc j'en déduis deux équations, chacun des coefficients. J'en déduis que a plus b est égal à 0 et j'en déduis que moins a est égal à 1. Donc du coup ça serait un système à deux équations à deux inconnues qui est très simple à résoudre. Ça fait a égale moins 1 et b égal à 1. Conclusion, g de x finalement c'est écrit moins 1 sur x plus 1 sur x moins 1. Et là c'est beaucoup beaucoup plus simple pour trouver la primitive. Là j'ai une somme et une somme je calcule la primitive de chacune d'entre elles et là elles sont très faciles à identifier. Donc primitive de moins 1 sur x c'est moins ln de x et 1 sur x moins 1 c'est ln de x moins 1. Quand on a un doute le plus simple c'est de dire je pense que ln de x moins 1 est ma primitive et je la dérive et je regarde ça c'est de la forme ln de u donc la dérivée je sais que c'est u prime sur u et u prime ici la dérivée de x moins 1 c'est 1 donc ça marche c'est bien 1 sur x moins 1 donc pas de soucis. Donc voilà la fonction proposée moins ln de x plus ln de x moins 1 c'est bien une primitive de g alors attention pour l'intervalle 1 plus l'infini parce que n'oublions pas que notre fonction elle était g elle n'était pas définie sur 0 et en 1 et pareil pour la primitive ln elle sera définie qu'à partir de 1 à cause du ln de x moins 1. Petite remarque oui donc là une primitive de 1 sur x c'est ln de valeur absolue de x parce que évidemment si x est négative ça marche pas et la ln n'est pas définie. Donc là il faut faire bien attention ça veut dire que si on veut se débarrasser des valeurs absolues sur r étoile plus ça sera une primitive c'est ln de x sur r étoile moins ln de moins x donc ça faut faire attention. C'est là où on remarque quand même qu'il est important c'est qu'une fonction surtout si elle a des intervalles un ensemble de définition sur plusieurs intervalles elle peut avoir des primitives qui ont une expression différente selon l'intervalle donc là exemple typique c'est 1 sur x je viens de vous le mentionner qui n'a pas la même primitive en fait sur r étoile moins et sur r étoile plus. Je peux avoir une seule expression c'est ln de valeur absolue mais je peux aussi écrire deux expressions si je veux pas avoir les valeurs absolues. Voilà pour cette méthode là donc si on retire bien il y a le produit que j'essaie d'identifier sous la forme u prime fois u donc évidemment ça marche pas tous les coups là c'était un cas qui marchait bien et la fonction rationnelle qui me permet avec la décomposition en élément simple de transformer mon produit en somme et de faire le calcul des primitives. Donc voilà pour ces deux méthodes de calcul de primitives.

Transformer puis primitiver

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