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Analyse

Les Primitives

Dans ce cours, nous apprenons à simplifier les fractions rationnelles en séparant les monômes, c'est-à-dire les polynômes du degré 1. Il existe deux méthodes pour y parvenir : la première consiste à mettre tous les termes au même dénominateur et à résoudre un système d'équations, tandis que la seconde méthode est plus rapide. La deuxième méthode consiste à prendre en compte trois pôles (x, x+1, x-1) et à utiliser cette expression pour isoler les constantes a, b et c. Ensuite, nous déterminons les primitives de cette fonction et ajoutons une constante k. Enfin, nous déterminons les limites en l'infini et en 1 de ces primitives. Pour cela, nous utilisons les propriétés du logarithme. Au final, nous obtenons une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, et nous pouvons simplifier cette fonction en utilisant les propriétés du logarithme.

Un exercice très très classique, une opération qu'il faut être capable de faire en MathSup, mais c'est bien si vous apprenez déjà à la faire, donc c'est une opération assez classique, c'est-à-dire des fois vous avez ce qu'on appelle des fractions rationnelles, comme ça des fractions avec des fonctions polynomiales, et on peut les simplifier, on peut séparer ce qu'on va appeler les monomes, c'est-à-dire les monomes, c'est pas un polynome, c'est un polynome du degré 1, donc les polynomes du degré 1 on peut les séparer en différents termes. Donc ici on repère, il y a deux méthodes, je vais vous faire la méthode la plus simple. Ici on va dire, je reconnais que... Et on vous dit, trouvez le nom abc tel que g2x égale... L'idée c'est que là il y a deux méthodes possibles. Une méthode un peu bourrine qui est de mettre tout au même dénominateur et ensuite d'identifier, c'est-à-dire je mets tout au même dénominateur et je dis, il faut que tout ce que je trouve soit égal à 1. Donc ça serait... Quand j'ai réécrit, je veux que tout ça soit égal uniquement à 1. C'est-à-dire que je dois identifier le terme en x², il y a un terme en x² et c'est ax² plus bx² plus cx² et dire qu'il doit être égal à 0. Donc c'est-à-dire que a plus b plus c devrait être nul, très bien. Je vais faire la même chose avec le terme en x, la même chose avec le terme constant qui lui doit être égal à 1. C'est pas mal, ça va marcher mais c'est très lourd. Plus malin... On va faire comme si ça c'était vrai tout le temps. Dans ce cas, trois étapes. Je vais prendre systématiquement... Enfin de manière systématique, j'entends. Je vais prendre en trois fois le x, le x plus 1 et le x moins 1 et je vais utiliser l'expression qui est ici pour isoler le a, puis le b, puis le c. Donc, étape 1. Je prends ma relation qui est là-haut et je fais fois x. Je fais ça fois x, ça me donne quoi ? 1 sur... Bon, x moins 1, x plus 1, c'est x² moins 1, égale a. J'ai ça maintenant, qui est vrai. Enfin, qui est une relation que j'ai le droit d'écrire. Pour tous les x qui ne sont pas égaux à 1 et moins 1. Très bien. Si je prends x égale 0, je remplace dans cette relation x égale 0 pour essayer d'isoler a. Pour comment je fais x égale 0, je fais en sorte de prendre la valeur de x qui rend nulle bx et cx. Je prends x égale 0 et j'obtiens tout de suite un truc assez intéressant, c'est 1 sur moins 1. Là c'est un peu long parce que je l'explique, mais en fait ça, ça permet de faire en deux minutes la découverte des constantes ABC plutôt que de s'embêter à faire un système de trois équations un peu moches. Ensuite, je refais pareil. Je prends l'équation c et lui est tout seul. Vu que c est ici, je fais x moins 1 et je l'isole. De la même manière qu'il y a une seconde, je fais pour x égale 1. Je prends la valeur de x qui est vachement intéressante pour dégager les termes a et b et isoler c. C'est donc 1, j'obtiens 1 sur 1 fois 2 0 plus 0 plus c, j'obtiens c égale 1 demi. Et si vous regardez, je fais la même chose et j'obtiens b égale 1 demi en faisant exactement la même chose. C'est-à-dire que pour multiplier tout par x plus 1, ça vous fait ici ça et ça, ça sera fois x plus 1. Vous mettez x égale moins 1 dedans, ça fera b égale 1 sur moins 1 fois moins 2. Donc b égale 1 demi parce que les deux moins vont s'annuler. En gros j'ai voulu accélérer un petit peu. Une fois que j'ai fait ça, c'est une technique qui marche systématiquement. Vous multipliez par 1 des 3 pôles, on appelle ça 1 des 3 parenthèses. Puis vous choisissez la valeur appropriée pour isoler le terme et vous trouvez vos constantes. À force de pratique, ça se fait vraiment en 2 minutes. Donc c'est assez chouette comme technique. Réflète, on a trouvé g. On va dire l'ensemble des primitifs, bah oui. Donc on a g de x. Ça c'est idéal. C'est-à-dire que maintenant g de x, c'est quoi ensuite ? C'est la question numéro 2. On va dire l'ensemble des primitifs. On fait ça comme ça. Plus k. Demandez l'ensemble des primitifs sur 1 plus infini. J'ajoute un plus k, avec k à partir de R. Au final, soit j'ai une primitive quelconque de g, déterminer sa limite en plus infini et en 1. C'est parti, une primitive quelconque, je l'ai ici. Et un log de 0. C'est-à-dire que c'est vers la limite du log quand x est envers 0. C'est le log de x quand x est envers 0. Si je pose u égal à x moins 1, ça revient à dire vers quoi tend le log de u quand u tend vers 0. C'est ça les questions qu'on pose ici. Donc ça revient à dire moins l'infini, si vous connaissez bien vos limites du log. Moi j'ai quoi ? J'ai un truc qui tend vers 0, un truc qui tend vers je sais pas quoi, genre une constante. Et là j'ai un truc qui tend vers moins l'infini. De ça je déduis. Alors là on va avoir un petit conflit. C'est-à-dire qu'on a du log de x moins 1, du log de x plus 1, du moins log de x. Tout ça ça va faire plus infini, plus infini, moins plus infini. Donc c'est une forme à déterminer. Donc il faudrait écrire un peu tout ça. On va écrire g de x égale. C'est-à-dire que je peux associer les deux logarithmes ici en utilisant le fait que log de a plus log de b c'est log de a fois b. Donc je fais ça. Si j'utilise la propriété du log qui dit que 1 de mi qui est devant je peux l'intégrer. Donc ça fait moins log de x plus log de racine de Puis en plus là j'ai x moins 1, x plus 1, ça sera x carré moins 1. Plus k. J'avais 1 de mi qui était devant et je vois que ça peut être intégré. Donc si c'est comme ça, j'avais 1 de mi ici log de a. Je peux l'intégrer et dire que c'est a puissance 1 de mi. Donc racine. Là c'est parfait. Je peux ensuite recombiner tout ça et dire que c'est log de racine de x carré moins 1. Je dis que log de a moins log de b c'est log de a divisé par b. Divisé par x. En recombinant les deux logarithmes. Et là c'est parfait. Parce qu'en gros j'ai juste intégré ça et j'ai écrit x comme racine de x carré. Je sais que, or, limite de g de x, donc x tend vers plus infini, égale grand k, quel que soit k. Donc ce machin tend vers 0, grand k reste là. C'est réglé.

Décomposition en éléments simples

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