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Algèbre

Divisibilité et Congruences

Ce cours traite d'un exercice de mathématiques où l'on doit montrer que l'expression a^n = n^5 - n est divisible par différents nombres (pair, divisible par 3, divisible par 5, divisible par 30). L'auteur recommande de simplifier et factoriser l'expression dès le début pour faciliter les démonstrations. Il utilise ensuite des tables de congruence pour montrer que l'expression est bien divisible par les nombres demandés. Il fait également référence à un corollaire du théorème de Gauss pour montrer que l'expression est divisible par 30. L'auteur souligne l'importance d'investir du temps et de la réflexion dès le début de l'exercice afin de faciliter les démonstrations ultérieures.

Un exercice très intéressant, parce qu'il a plusieurs petites méthodes et petites astuces qui peuvent encore une fois être utilisées dans pas mal de contextes. Donc, le truc principal ici, pour moi, ça va être de faire un peu une question zéro. Donc c'est la chose par laquelle je vais commencer. Vous avez un exo où on vous dit, voici un entier, enfin, voici a n, un entier, qui s'écrit n puissance 5 moins n. Première chose, on vous dit avec n appartient à N. Donc on ne parle pas d'antirelatif, antinaturel, c'est ok. Avant même de lire les questions, montrer qu'a n est pair, divisé par 3, par 5, etc., j'ai envie de faire une étape zéro. Je pense que c'est une bonne chose d'avoir ce genre de réflexe. Étape zéro, je simplifie et je factorise mon expression. Parce que si je le fais au début, je le fais, c'est fait une bonne fois pour toutes, c'est un investissement pour les 4 questions, je pourrais revenir à cette formule, savoir que j'ai déjà des versions peut-être plus simples de cette expression. Alors faisons-le, je peux factoriser tout bêtement par n au début, ça fait n fois n4 moins 1. Ici je reconnais une identité remarquable, j'ai un carré moins un carré, donc ça me fait n carré moins 1, n carré plus 1, parce que n4 c'est n2 au carré. Et de même, ça c'est intouchable, ce qu'il y a dans l'identité naturelle, ça je peux aussi appliquer une identité remarquable. Donc au final j'obtiens quelque chose qui s'écrit nn moins 1, n plus 1, fois n carré plus 1. C'est fait, c'est noté quelque part. Montrer que a n est paire. On pourrait faire une table de congruence et se dire si n est paire alors n puissance 5 machin machin, si n impaire alors machin machin, et montrer dans les deux démonstrations que si on part d'un n paire ou d'un n impaire, on arrive à a n paire. Beaucoup plus simple, je trouve, et plus élégant, si on a fait ce travail, c'est de dire, on a ici le produit, c'est un truc à retenir parce que c'est souvent très pratique en arithmétique, on a ici le produit de deux entiers consécutifs, n moins 1 et n, ou bien même n et n plus 1 si vous voulez. Je peux en trouver deux consécutifs, leur produit, ça compose a n. Donc j'ai le produit de deux entiers consécutifs, si vous réfléchissez, deux entiers consécutifs, il y a toujours un des deux qui est paire, donc divisible par 2. Ça veut dire que là je suis garanti d'avoir un nombre, un nombre qui s'écrit 2k. Donc c'est bon, ça garantit que a n est divisible par 2. J'espère que vous comprenez la logique. Donc comme n moins 1 et n sont consécutifs, un des deux est paire, alors n n moins 1 est paire, donc a n lui-même est paire. Exactement le même raisonnement pour la question 2, montrer qu'il est divisible par 3. Alors, on y va. Comme n moins 1, n et n plus 1 sont consécutifs, ah oui parce que là j'ai n moins 1, n, n plus 1, c'est trois nombres consécutifs, je ne sais pas, 7, 8, 9, l'un des trois est un multiple de 3. Forcément, parce que si vous regardez les nombres, vous avez 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, vous allez toujours tomber sur un paquet de trois nombres consécutifs sur un multiple de 3, c'est normal. L'un des trois est un multiple de 3, donc le produit des trois, a fortiori, est aussi un multiple de 3, et donc on a bien 3 qui est divisé par n. Là où on pourrait chipoter, et c'est important de le faire, c'est de dire, attention, si n vaut 1, ton truc vaut 0. Ce n'est pas faux. Voyons un peu ce qui se passe pour les premiers cas. Je ne les ai pas écrits, éliminons quand même les premiers cas et voyons ce qui se passe. On a a0 égale 0 moins 0, ça fait 0. a1 égale 1 puissance 5 moins 1, ça fait 0. C'est bon, je suis sûr que 0 est bien divisible par tout et n'importe quoi, donc je peux répondre pour ces deux-là que c'est bien paire, divisible par 3, par 30, par tout ce que vous voulez. J'élimine le cas 0 et 1 qui, en effet, peuvent être problématiques. J'ai donc répondu intelligemment, je trouve. Après, on peut aussi faire une table de congruence à chaque fois, ça marche. On peut dire faisons une démonstration en 3 temps, on regarde, ça marche. Mais réaliser grâce à la factorisation au début, vous comprenez mieux ce que je veux dire par un bon investissement. Ça peut nous permettre d'aller très vite. En utilisant les congruences modulo 5. Là, la question ne rigole plus, elle me dit, elle m'impose. Si vous êtes au bac ou en DS, j'ai tendance à dire ne soyez pas complètement folichon, si on vous impose une méthode, utilisez-la. Montrez que a1 est divisible par 5. Ça, ce n'est pas bien compliqué, on va faire une table de congruence. On commence par dire, si n est congru à quelque chose, quelle est la suite ? Quand n est congru à 0, à quoi est congru n-1 ? 4, n plus 1 ? 1, n² plus 1 ? n², ça fait 0 plus 1, ça fait 1. J'utilise cette magnifique expression très bien factorisée. Ça m'aide beaucoup. Je prends les 4, 5 cas possibles. n peut être congru soit à 0, soit à 1, soit à 2, soit à 3, soit à 4. Et je fais les petits calculs pour n-1, n plus 1, n² plus 1. De quoi je me rends compte ? En fait, le produit n fois n-1 fois n plus 1 fois n² plus 1 va toujours être congru à 0. Pourquoi ? Il y a un 0 dans cette colonne. Je les ai mis en rouge. Un 0 dans cette colonne. Un 0 dans celle-ci, dans celle-ci et dans celle-ci. a n, produit de tous ces éléments, ici, va toujours être congru à 0. Grâce à cette table de congruence, j'ai montré que 5 divise à n. Bon, pour l'instant, j'ai fait deux petites astuces, mais vous remarquez quand même, encore une fois, je pense que là, en utilisant les congruences modulo 5, je ne sais pas trop comment faire autrement, mais vraiment sans ça, c'est galère. Je trouve que ça, c'est beaucoup plus facile. Après, n'hésitez pas à discuter. Si vous avez un commentaire ou une question à poser sur le fait que peut-être que c'était gérable sans factoriser, très bien. Mais je pense que c'est cool d'y penser dès le début parce que c'est un bon investissement pour l'avenir plutôt que de se retrouver à la question 3 et se dire zut, il faut peut-être factoriser. Pourquoi a n serait-il divisible par 30 ? D'où sort ce 30 ? Première question. Bon, père, c'est divisible par 2. Là, c'est par 3. Là, il y a du 2 x 3. Là, j'ai du 5. Ça fait x 5. Ça fait 30. On sent un petit théorème. Donc là, il ne faut pas se tromper sur quel théorème est sous-entendu. J'ai 2 divise à n, 3 divise à n, 5 divise à n. Or, 2 et 3 et 5, ces trois indices, sont premiers entre eux. Très simple à démontrer. Les trois sont premiers. Donc là, c'est très simple. Ils sont premiers. Donc, a fortiori, premiers entre eux. Donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss, je vous le rappelle ici. Donc, Gauss, ça dit que si a divise b fois c, mais que a et b n'ont rien en commun, sont premiers entre eux. Alors, ça veut dire que, nécessairement, a divise c et pas b. Il y a un petit corollaire qui dit, si je sais que b divise a et c divise a, et que b et c n'ont rien à voir entre eux, ils sont premiers entre eux. Alors, le produit des deux divise a également. C'est ça que j'utilise ici. Ces trois-là sont premiers entre eux. Donc, leur produit divise à n. Et donc, 2 fois 3 fois 5 égale 30 divise à n. Voilà. Pour moi, c'était vraiment ce petit côté investissement dès le début qui paye sur les trois questions qui était important. J'espère que ça a été clair. Posez-moi vos questions si besoin. Et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Divisibilité de n⁵-n ?

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