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Nombres premiers

Dans cet exercice, nous montrons qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant les nombres de Fermat. 

Nous commençons en montrant par récurrence que pour tout n et pour tout k plus grand que 1, nous avons l'égalité suivante : 2 puissance 2 puissance n plus k moins 1 est égal au produit de 2 puissance 2 puissance n moins 1 et du produit de 2 puissance 2 puissance n plus i plus 1 pour i allant de 0 à k moins 1. 

Ensuite, nous montrons que pour tout m différent de n, les nombres de Fermat fn et fm sont premiers entre eux. Nous utilisons l'hypothèse de récurrence précédente pour montrer cela. 

Enfin, nous utilisons les nombres de Fermat pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers. Nous supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers et nous considérons les nombres de Fermat F1, F2, F3, etc. jusqu'à FN plus 1. En utilisant le principe des tiroirs, nous montrons qu'il y a forcément deux nombres de Fermat distincts qui ont le même diviseur premier, ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux. Par conséquent, il ne peut pas y avoir un nombre fini de nombres premiers et il en existe une infinité.

Salut, bienvenue dans cet exercice dans lequel on va montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant les nombres de Fermat. Première question, on nous demande de montrer par récurrence pour tout n et pour tout k plus grand que 1, donc on va faire une récurrence sur k, qu'on a cette égalité-là. Cette égalité, on va essayer de la dire sans se tromper, c'est 2 puissance 2 puissance n plus k moins 1 est égale au produit de 2 puissance 2 puissance n moins 1 et du produit pour i égale 0 à k moins 1 de 2 puissance 2 puissance n plus i plus 1. Bon ok, ça fait un peu peur dit comme ça, mais on va voir un peu ce qu'il se passe. On va montrer ça par récurrence. On veut montrer cette propriété par récurrence. On vérifie l'initialisation parce que k commence à 1. On regarde pour k égale 1 ce qu'il se passe. Pour k égale 1, ici on remplace par 1 et ici aussi on remplace par 1. Donc on va se retrouver avec le produit de 2 puissance 2 puissance n moins 1 fois le produit, du coup on n'aura que le choix pour i égale 0, donc ça veut dire 2 puissance 2 puissance n. Donc on a ce produit-là. On reconnaît l'identité remarquable A carré, pardon, ben oui c'est A carré moins B carré, mais là sous cette forme-là c'est A moins B, facteur de A plus B. Ça nous fait du coup A carré moins B carré. Là il faut faire attention avec les puissances. Quand on a 2 puissance 2 puissance n au carré, le 2 qui est ici ne va pas multiplier le n, il va multiplier le 2. Donc on va se retrouver avec 2 puissance 2 puissance n fois 2. Ça nous fait 2 puissance 2 puissance n plus 1 moins 1. C'est exactement ce qu'on voulait retrouver parce qu'on voulait ça avec k égale 1, c'est ce qu'on a. Maintenant on fait l'hérédité, le passage de k à k plus 1. On calcule cette égalité-là pour k qui vaut k plus 1. Donc en gros la seule apparition du k est ici. Quand k vaut k plus 1, au lieu de s'arrêter à k moins 1, on s'arrête à k. Donc voilà, on s'arrête à k ici. En fait c'est un produit. On va juste sortir le dernier pour utiliser l'hypothèse de récurrence. On va juste sortir le dernier qui est celui-ci, 2 puissance 2 puissance n plus k plus 1. Et on se retrouve avec notre hypothèse de récurrence. Et par hypothèse de récurrence, ce truc-là vaut 2 puissance 2 puissance n plus k moins 1. Et donc on se retrouve, comme tout à l'heure, avec l'identité remarquable qu'on observe. Donc ça nous fait 2 puissance 2 puissance n plus k au carré moins 1. Pareil que tout à l'heure, attention avec les puissances de la mettre au bon endroit. Donc ça nous fait 2 puissance 2 puissance n plus k plus 1 moins 1. Et voilà pour l'hérédité. Donc pour tout n, on a cette égalité que je ne vais pas redire pour éviter de me tromper. Mais voilà, on a cette égalité-là et on va voir comment on l'utilisera tout à l'heure. On nous dit après, on pose que fn, on nous redéfinit un peu ce que c'est que les nombres de Fermat, fn c'est 2 puissance 2 puissance n plus 1, montrer que pour tout m différent de n, fn et fm sont premiers entre eux. Déjà ça c'est un truc qu'on peut connaître, c'est de la culture mathématique, mais à force il va falloir le savoir, que 2 nombres de Fermat sont premiers entre eux. Enfin, 2 nombres de Fermat différents sont premiers entre eux. On peut supposer, voilà, qu'il y en a un qui est plus grand que l'autre parmi m et n. On a supposé que m était strictement plus grand, sinon on fait le raisonnement exactement inverse. On échange m et n si jamais ce n'est pas le cas. Donc ça veut dire qu'il existe un k supérieur au égal 1, c'est-à-dire que m c'est n plus k. M est plus grand, c'est n plus quelque chose. Donc on réécrit les qualités de la question 1, du coup celle-ci, on réécrit ça, mais du coup avec fm moins 2, parce que ce nombre-là, n plus k, c'est m, et ça, c'est fm moins 2. C'est 2 puissance 2 puissance m, plus 1, moins 2, pardon. Pour se retrouver avec moins 1, il faut faire plus 1, moins 2, pour avoir juste moins 1. Donc ça nous fait fm moins 2 est égal à, du coup, le produit des fi. Là, on reconnaît que ça, c'est les fi, d'accord ? Alors, fi, j'ai précisé ce que c'est. Les i, ce sont des nombres qui vont de n plus 1 à m moins 1. D'accord ? Pardon, non, non, non. Les fi, ce sont des nombres qui vont de n à m moins 1, excusez-moi. Donc voilà. Et maintenant, ce qu'on va faire, c'est on va passer ce truc-là à gauche, et le 2 de l'autre côté. Donc on va se retrouver avec fm égal, donc là, il y a le 2, là, il y a le moins, sauf que de ce produit-là, on va extraire le premier. On veut faire apparaître du fn à un moment. Donc le premier, on l'extrait, c'est un produit, donc on peut juste le sortir ici. Donc on a fn ici, et du coup, là, on commence à n plus 1, au lieu de commencer à n, tout simplement, Et là, ce qu'on reconnaît, c'est une égalité de Bézout, ou même si on ne la reconnaît pas, on dit que D, c'est un diviseur de fm et de fn, donc il divise lui, il divise lui, on a une combinaison des deux, donc il divise le résultat de la combinaison, qui est 2. Donc D, si on a un diviseur, ça, c'est vraiment quelque chose qu'il faut comprendre, on a un diviseur de fn et de fm qui divise 2. 2, il est premier, donc les seuls diviseurs possibles, c'est 1 ou 2. Donc, étant donné que les fn sont impaires, si on revient à la définition, c'est une puissance de 2 plus 1. Ça, c'est un nombre impaire, clairement, il n'y a pas besoin d'en dire plus. Donc étant donné que c'est un nombre impaire, il ne va clairement pas être divisé par 2. Donc la seule solution possible, c'est que D soit égale à 1. Donc le PGCD de fm et fn, c'est 1, donc ils sont premiers entre eux. Ensuite, maintenant, il faut en déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers. Alors, on pourrait chanter la question et faire une autre démonstration, mais on va le faire avec les nombres de Fermat. Comme d'habitude, quand on veut montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, on suppose qu'il y a un nombre fini, on essaie d'avoir une contradiction. Là, la contradiction, on va l'avoir avec les nombres de Fermat. Donc on suppose qu'il en existe un nombre fini qu'on appelle N, de nombres premiers. On les numérote comme étant P1, P2, P3, PN. On dit qu'il n'y en a pas d'autres. Maintenant, on va considérer les nombres de Fermat, F1, F2, F3, etc., jusqu'à FN plus 1. Donc on en prend un de plus qu'il y a de nombres premiers. Chaque Fi pour i qui est dans 1 à N plus 1, il est divisé par un nombre premier. C'est un nombre, donc a priori, dans sa décomposition au facteur premier, il y aura un nombre premier dedans, parce qu'ils sont différents d'un. Mais il y a N plus 1 Fi, et il y a N nombres premiers. D'accord ? Donc, par le principe des tiroirs, il y a forcément deux nombres de Fermat distincts, c'est ça qui est important, c'est bien qu'ils soient distincts, qui vont avoir le même diviseur premier. D'accord ? Parce qu'il y a un diviseur premier qui va diviser chacun des nombres de Fermat, mais il y a N plus 1 nombre de Fermat distinct, et il n'y a que N nombres premiers. Donc forcément, il y a un nombre premier qui va en diviser au moins deux. Distincts, j'insiste sur le distinct. Mais étant donné qu'ils sont distincts, on a montré dans la question juste avant qu'ils sont premiers entre eux. Donc, ça contredit le fait que leur PGCD, ce soit 1. Donc, la contradiction, c'est qu'il ne peut pas y avoir un nombre fini de nombres premiers, donc nécessairement, il en existe une infinité. Et donc voilà pour cet exercice.

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