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Nombres premiers

Dans cet exercice, on cherche à démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3. 

Tout d'abord, on doit prouver que l'ensemble x de ces nombres premiers est non vide. On remarque facilement que 3 est de la forme 4k + 3 avec k égal à 0, donc 3 appartient à x. Donc x est non vide.

Ensuite, on veut montrer que le produit de deux nombres de la forme 4k + 1 est également de cette forme. On prend donc deux nombres, k et l, et on effectue une multiplication. On factorise ensuite par 4 et on obtient un nombre k' qui peut s'écrire sous la forme 4k' + 1. Donc le produit de deux nombres de la forme 4k + 1 est bien de cette forme.

On suppose ensuite que l'ensemble x est fini, donc qu'il contient un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k + 3, et on construit un nombre a égal à 4 multiplié par le produit de tous ces nombres, moins 1. On va montrer que a a nécessairement un diviseur premier de la forme 4k + 3. 

On suppose par l'absurde que a n'a pas de diviseur premier de cette forme. On constate alors que tous les diviseurs de a doivent être de la forme 4k + 1. On exclut rapidement la possibilité que a soit divisible par 2, puisqu'il est impair. Donc tous ses diviseurs premiers doivent être de la forme 4k + 1.

Or, on a montré précédemment que le produit de nombres de la forme 4k + 1 est lui-même de cette forme. Mais a, qui est de la forme 4k - 1, ne correspond pas à cette propriété. Donc on aboutit à une contradiction et on prouve que a admet nécessairement un diviseur premier de la forme 4k + 3. 

Cela signifie qu'il existe un nombre premier de la forme 4k + 3 qui divise a, contredisant ainsi l'hypothèse que l'ensemble x est fini. On conclut donc qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers qui s'écrivent 4k plus 3. Déjà, on nous demande de montrer que x est non vide, donc x est l'ensemble de ces nombres premiers-là. On va montrer qu'il est non vide. Il y en a un qui saute quand même aux yeux, c'est pour k égale 0, 3, c'est 4 fois 0 plus 3, donc 3 appartient bien à x, donc x est non vide. Ensuite, montrer que le produit de nombre de la forme 4k plus 1 est encore de cette forme. En gros, si on a deux nombres qui s'écrivent comme 4k plus 1, si on les multiplie ensemble, on aura encore un nombre qui s'écrit 4k plus 1. On va voir ce qu'il en est. On prend deux nombres, k et l, tel que on multiplie 4k plus 1 et 4l plus 1. Là, c'est une distributivité classique. Ensuite, on factorise par 4. On se retrouve avec k facteur de 4kl plus k plus l, qui est un nombre entier, et plus 1. Donc on a un nouveau nombre k prime qui vaut ça, et on peut écrire notre produit comme 4k prime plus 1. Ça répond à la question. Ensuite, c'est là où c'est un peu intéressant. On suppose que x est fini. On dit qu'il y en a un nombre fini, et on dit qu'il y en a n. Et on construit a comme étant 4 fois le produit de tous ces nombres-là, moins 1. Et on va montrer par l'absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k plus 3. On va voir après pourquoi ça pose problème. Mais là, on va montrer par l'absurde que si a est égal à ça, il y a un diviseur premier de la forme 4k plus 3 qui va diviser a. Donc c'est parti. On va le faire par l'absurde. On suppose que a n'a pas de diviseur premier de la forme 4k plus 3. Et du coup, on prend un diviseur premier de a, et on va voir à quoi il doit être égal. On sait juste qu'il n'est pas égal à 4k plus 3 par supposition. Mais bon, c'est par l'absurde, donc on va aboutir à une contradiction normalement. Donc voilà. Donc p, il est soit de la forme 4k plus 1, soit de la forme 4k plus 2. Parce qu'un nombre, de manière générale, si on prend les congruences, il est soit congruent à 0 modulo 4, 1, 2 ou 3. S'il est congruent à 0 modulo 4, il s'écrit comme 4k. Mais du coup, ce n'est pas un nombre premier parce que c'est un multiple de 4. S'il est congruent à 1 modulo 4, il s'écrit comme ça. A 2 modulo 4, il s'écrit comme ça. Et à 3 modulo 4, il s'écrit comme ça. Mais on les a exclus. Donc les deux possibilités qui restent, c'est ces deux écritures-là. On va commencer par exclure celle-ci rapidement. A la 4k plus 2, le seul nombre premier qui puisse s'écrire comme ça, c'est p égale 2. Parce que sinon, on peut factoriser par 2, et du coup, c'est un nombre paire, différent de 2, donc ce n'est pas un nombre premier. Mais par contre, 2 ne divise pas A. Parce que A, on voit clairement que c'est un nombre impaire, la façon dont il s'écrit. Donc 2 ne divise pas A, donc c'est exclu. Donc nécessairement, tous les diviseurs premiers de A sont de la forme 4k plus 1. Ça, c'est le seul choix qui reste. Mais du coup, ça fait que A, c'est un produit de nombre de la forme 4k plus 1, parce que tous ces diviseurs premiers s'écrivent 4k plus 1, donc A, vu que c'est le produit des diviseurs premiers, c'est un produit de nombre de la forme 4k plus 1. Mais dans la question 2, on a montré qu'un produit de nombre de la forme 4k plus 1 est encore un nombre de la forme 4k plus 1. A, c'est pas du tout son cas. A est de la forme 4k moins 1. Donc si on regarde avec les congruences modulo 4, A est congrue à moins 1 et un produit, enfin un nombre de la forme 4k plus 1 est congru à un modulo 4. Donc c'est pas le cas de A. Donc, nécessairement, A admet au moins un diviseur premier de la forme 4k plus 3. Donc on a répondu à la question, et ensuite, montrer que ceci est impossible, et donc que X est infini. Donc, on va montrer que c'est impossible. Donc, il existe, d'après ce qu'on vient de dire, il existe un P qui appartient à X, parce que X, on a supposé que c'était fini, et qui contient, enfin, X contient tous les nombres premiers de la forme 4k plus 3. On sait qu'il y en a un qui va diviser A. Donc, on l'appelle P, il divise A, et il appartient à X, donc il s'écrit 4k plus 3. Mais, encore une fois, par hypothèse, X est fini. Donc, c'est pas encore là qu'on l'utilise. Donc P divise A, donc A est conduit à 0 modulo P. Et là, on va aboutir à la contradiction. Mais, A est conduit à moins un modulo PI pour tous les PI, parce que A, c'est le produit, c'est 4 fois le produit de tous les nombres premiers, si on a supposé qu'ils sont finis. Sauf que, du coup, modulo n'importe lequel, A est congru à moins un modulo n'importe quel PI qu'on prendrait là-dedans. Mais on vient de dire que il en existe un tel que A est congru à 0 modulo celui-là, le fameux qui existe. Mais du coup, on aboutit à une contradiction. Donc, ça contredit le fait qu'il soit fini. Parce que, on pourrait pas avoir les deux en même temps. Et donc voilà, on a montré qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4K plus 3.

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