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Applications linéaires et théorème du rang

Dans cet exercice, nous démontrons l'équivalence entre le fait que Phi soit un isomorphisme et le fait que l'image de toute base de E par Phi soit une base de F.

Nous commençons par montrer que si Phi est un isomorphisme, alors l'image de toute base de E par Phi est une base de F. Nous prenons une base E1 à Enne de E et vérifions si la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est une base de F. Pour cela, nous effectuons un test de liberté en supposant que lambda1 à lambdan sont des constantes telles que la somme lambda1*Phi(E1) à lambdan*Phi(Enne) soit égale à 0. En utilisant la linéarité de Phi, nous déduisons que la somme lambda1*E1 à lambdan*Enne appartient au noyau de Phi. Cependant, le noyau de Phi étant réduit à 0, nous en concluons que les constantes lambda1 à lambdan doivent être nulles. Ainsi, la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est libre et donc une base de F. Par conséquent, si Phi est un isomorphisme, alors l'image de toute base de E par Phi est une base de F.

Ensuite, nous démontrons que si l'image de toute base de E par Phi est une base de F, alors Phi est un isomorphisme. Nous prenons une base E1 à Enne de E et vérifions si la famille Phi(E1) à Phi(Enne) est une base de F. Si c'est le cas, alors dim F est égale à n qui est égale à dim E. En outre, puisque im(Phi) est égal à F par définition de la base, nous concluons que Phi est surjective. Ainsi, si l'image de toute base de E par Phi est une base de F, alors Phi est un isomorphisme.

En conclusion, nous avons démontré l'équivalence entre le fait que Phi soit un isomorphisme et le fait que l'image de toute base de E par Phi soit une base de F.

Dans cet exercice, on fait quelque chose qui est un petit peu une démonstration de cours avancés. On vous dit, soit E et F, deux espaces vectoriels de dimensions finies, bon déjà on est content, et Phi, une application linéaire de E dans F. Montrez l'équivalence entre le fait que Phi soit un isomorphisme, c'est-à-dire en gros une fonction, une application linéaire bijective, et le fait que l'image par Phi de toute base de E est une base de F. Voilà, ça sera un isomorphisme que dans ce cas-là. Donc voilà, je vais faire une démonstration en deux temps, assez simple. On va faire d'abord le direct, puis l'indirect. D'abord montrer que si on a un isomorphisme, alors l'image par Phi de toute base de E est une base. Acciproquement, si l'image machin machin, alors Phi est bijectif. On est parti, on pose les choses, c'est le genre d'exercice où il faut bien poser. Si on pose tout bien de manière claire, alors ça va rouler tout seul. Je pense qu'il ne faut pas trop se prendre la tête à l'avance à imaginer des choses, il faut juste écrire. Donc Phi de E dans F. Je prends E1 jusqu'à Enne, une base de E. Quand je dis ça, ça veut dire n, et il y a l'indime de E. Voilà. Est-ce que la famille Phi de E1, Phi de Enne, donc dans F, est une base de F ? Je fais un test de liberté, tout bêtement. Déjà, pour avoir un isomorphisme, quelque chose qu'il faut dire, c'est que nécessairement j'ai n égale indime de E égale indime de F. Je me rends compte que je ne l'avais pas précisé, mais c'est obligatoire. Ce n'est pas possible d'avoir une bijection entre deux espaces de dimensions différentes. Donc E et F vont être de la même dimension nécessairement. S est une base de F. Étant donné que là, j'ai n éléments, je n'ai plus qu'à montrer que la famille qui a le bon nombre d'éléments est libre. J'aurai une famille libre à n éléments pour un espace de dimension F. C'est une base. Donc test de liberté. Je prends lambda 1, lambda n, aspect classique, n constante tel qu'on a ce truc-là. Lambda 1, Phi de E1, lambda n, Phi de Enne égale 0. Je me rends compte par linearité que ça, ça équivaut à ça. Phi de lambda 1 E1, etc. égale à 0. Donc qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que la somme de lambda i E i doit appartenir au noyau de Phi, vu que c'est un élément qui se fait envoyer sur 0. D'accord ? Dans ce cas, c'est intéressant, mais vu que le noyau de Phi, on a dit que Phi étant un isomorphisme, le noyau de Phi est réduit à 0. Donc j'ai trouvé que la somme de lambda i E i est égale à 0. En fait, là j'ai une combinaison linéaire d'éléments de la base E. Forcément, sachant que E est une base, cette combinaison linéaire ne peut exister que si tous les lambdas sont nuls. C'est ici que se passe le passage de la famille Phi de E1, Phi de Enne à E1, Enne. C'est en utilisant le fait que lambda 1 E1, lambda n Enne, cette combinaison linéaire soit dans le noyau. Je me retrouve avec ça, et je sais déjà que c'est une base. Donc je peux assurer que les lambdas i sont nuls à partir de ça. Ce qui m'arrange, parce que ça montre que les lambdas i sont nuls depuis le début. Donc j'ai la famille qui est libre, et donc si Phi est un isomorphisme, pour une base quelconque donnée, j'ai bien l'image de la base qui est une base de F. Très bien, faisons-le dans l'autre sens. Si toute image de base est une base, par Phi, ça veut dire que si j'ai une base de E, E1, Enne, j'ai aussi Phi de E1, Phi de Enne, qui est donc une base de F. Et lui ça serait donc base de E. Je vais l'écrire ici. Base de E, base de F. J'ai donc dim F égale n égale dim E. Donc ça, tout de suite. Et comme im de Phi, en fait c'est assez simple, cette réciproque est assez rapide. Comme im de Phi, par définition, c'est vect de Phi de E1, Phi de Enne. Vu que vect de Phi de E1, Phi de Enne, par définition d'une base, c'est égal à grand F. Je montre que im de Phi, grand Phi, c'est ça. Im de grand Phi, je veux dire. C'est grand F, donc Phi est surjective. Donc Phi est un isomorphisme. Tout bêtement. Voilà, donc ça dans ce cas-là, la réciproque est vraiment très simple. Et le sens direct, en fait, c'est juste... Ça rapporte à un test de liberté, donc c'est pas très compliqué. J'espère que c'était clair, et je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye.

Isomorphisme

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