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Équivalence et Suites

Dans ce cours, nous étudions les équivalents de séries réelles positives. Nous cherchons à montrer que si la série Un est équivalente à Vn et si la limite de Vn tend vers l'infini, alors nous pouvons sommer ces équivalents. Ensuite, nous appliquons ces résultats à deux exemples : trouver un équivalent de la série 1/√k et de la série ln(k). Nous montrons que la première série est équivalente à 2√n et que la deuxième série est équivalente à nln(n).

On se retrouve sur un exercice que j'apprécie puisqu'il va pour la première fois te pousser à sommer des équivalents, et ça on sait qu'il faut toujours le faire avec prudence, ton prof il a dû le dire parce qu'en fait on peut sommer des équivalents que dans de très rares cas. On se donne u et v, deux suites réelles strictement positives, et pour n appartenant à n on pose la somme pour k allant de 0 à n des uk, on dit que c'est Un, et la somme pour k allant de 0 à n des vk, on dit que c'est Vn, et on te demande de montrer que si Un est équivalent à Vn et que si la limite lorsque n tend à plus l'infini de Vn est égale à plus l'infini, alors on a le droit de sommer les équivalents, autrement dit on a le droit de dire que Un est équivalent à Vn. Et enfin on te donne deux applications qui sont de trouver un équivalent de k allant de 1 jusqu'à n des 1 sur racine de k, et de la somme pour k allant de 1 jusqu'à n des ln de k. Très bien, commençons par la question 1, on veut montrer un équivalent, donc réflexe, on veut montrer une limite, et plus précisément on veut montrer que la limite de Un sur Vn est égale à 1 lorsque n tend à plus l'infini. Ce que je vais vouloir faire c'est revenir à la définition de la limite, autrement dit je vais vouloir montrer que pour toutes les psylônes, cette quantité-là je peux la glisser sous les psylônes. Très bien, je commence, valeur absolue de Un sur Vn moins 1, c'est égale à cette chose-là, en passant au même dénominateur, puis en revenant à la définition de Un et de Vn j'obtiens cette somme-là, puis par inégalité triangulaire j'ai le droit de passer la valeur absolue à l'intérieur de la somme, et ça on divise toujours par Vn, et on sait que Un est équivalent à Vn, donc que Un sur Vn tend vers 1 lorsque n tend à plus l'infini par définition de l'équivalent. Mais en revenant à la définition de la limite, c'est exactement se dire que pour toutes les psylônes strictement positifs, il existe un n0 appartenant à n tel que pour toute n supérieure ou égale à n0, et bien Un sur Vn moins 1, on peut le glisser sous les psylônes, c'est-à-dire est inférieur ou égal à epsilon. Et ça, en passant au même dénominateur, puis en passant le Vn de ce côté-là, c'est exactement se dire que Un moins petit Vn est inférieur ou égal à epsilon fois Vn, avec pas besoin de mettre de valeur absolue autour du Vn, puisqu'on a supposé, je vous le rappelle, les suites strictement positives. Mais alors en revenant à nos calculs, on se fixe un epsilon, soit epsilon strictement positif. On sait qu'il existe un n0 tel que, on est cette chose-là. Moi, ce que je vais faire, et c'est une astuce qu'il faut vraiment avoir en tête lorsqu'on fait du calcul avec les sommes, je découpe en tous les termes qui sont avant le n0, et tous les termes qui sont après le n0. Du coup, cette expression-là devient cette expression-là. J'ai toujours mon 1 sur Vn, j'ai les termes avant le n0 et j'ai les termes après le n0, mais on sait que les termes après le n0 sont plus petits que epsilon fois Vn. Donc je majeure pour epsilon moins Vn, je sors l'epsilon de la somme, puisqu'il est indépendant de k, et mon Vn, et bien je le somme pour k allant de n plus 1, c'est un petit Vk ici, pour k allant de n0 plus 1 jusqu'à n, mais ça c'est plus petit que Vn qui est la somme pour k allant de 0 jusqu'à n, puisqu'on a supposé nos Vk positifs, et que dans Vn, on en somme plus que dans cette somme-là. Conclusion, en divisant par Vn, je majeure par epsilon. Il me reste maintenant à m'occuper de cette somme-là, mais on sait que c'est indépendant de n, donc c'est constant en n. Si je fais cette quantité-là divisée par 1 sur Vn, qui est une quantité qui tend vers 0 lorsque n tend vers plus infini, puisque Vn tend vers plus infini lorsque n tend vers plus infini, le produit va tendre vers 0 lorsqu'n tend vers plus infini. Encore une fois, par définition de la limite, puisque cette quantité-là uniquement tend vers 0 lorsqu'n tend vers plus infini, elle existe en n1, que je suppose arbitrairement supérieure à n0, tel que pour toute n supérieure ou égale à n1, on est cette quantité-là, celle-ci, inférieure ou égale à epsilon. Bilan, on a montré que pour toute epsilon positive, puisqu'ici on en a fixé un quelconque, il existait un n1 appartenant à n tel que pour toute n supérieure ou égale à n1, on est UnVn-1 inférieure ou égale à 2 fois epsilon. Et là vous allez me dire, mais on n'a pas réussi complètement puisqu'on a un 2 fois epsilon. Peu importe, on a l'ordre de grandeur. Tant qu'on a un k fois epsilon, même un 1000 fois epsilon, même un 10000 fois epsilon, on a gagné, puisque pour se débarrasser du 2 fois epsilon, il aurait juste fallu qu'on prenne epsilon sur 2. Donc tomber là-dessus, il ne faut vraiment pas vous bloquer, puisqu'on a vraiment montré que UnVn tendait vers 1 lorsqu'n tend à plus infini. On en étudie donc que UnVn est équivalent à UnVn. Passons à présent aux applications et à la première qui nous demande de trouver un équivalent de la somme pour k allant de 0 à n des 1 sur racine de k. Et on se rappelle des exercices précédents que racine de n plus 1 moins racine de n, c'est équivalent à 1 sur 2 racine de n, lorsqu'n tend à plus l'infini. Très bien, mais alors 2 fois racine de n plus 1 moins racine de n, et bien du coup en refaisant les calculs, c'est égal à 2 divisé par racine de n plus 1 plus racine de n en multipliant en haut et en bas par entre guillemets le conjugué de cette quantité là. Mais ça, en passant à l'équivalent en bas, c'est égal à 2 divisé par 2 racine de n et c'est égal à 1 sur racine de n. De plus, je remarque que cette somme là, qui est ça qu'on a injecté là-dedans, en télescopant, puisque ce terme là va s'annuler avec le précédent et ainsi de suite, on fait les dominos, c'est égal à 2 fois racine de n plus 1 moins 2 fois racine de n. Et ça, ça tend vers plus l'infini lorsqu'n tend à plus l'infini. Et du coup, on est exactement dans le cadre de l'application de la question. Puisqu'on a deux suites strictement positives et la somme, le grand Vn, qui tend vers plus l'infini. On en étudie donc que la somme pour k allant de 1 jusqu'à n des 1 sur racine de k, avec je le rappelle 1 sur racine de k qui est équivalent à 2 fois racine de k plus 1 moins racine de k, elles sont équivalentes. Sauf qu'on sait que cette somme, elle se simplifie en 2 fois racine de n plus 1 moins 2 fois racine de n. Et que ça, c'est équivalent à 2 racines de n. On en conclut donc que la somme pour k allant de 1 jusqu'à n des 1 sur racine de k est équivalente à 2 fois racine de n. Passons à présent à la deuxième application qui nous demande de trouver un équivalent de la somme pour k allant de 1 jusqu'à n des ln de k. Je vais avoir envie de faire la même chose, c'est à dire partir d'une somme télescopique, trouver un équivalent de la chose qu'on met à l'intérieur, et puis tout va se simplifier, tout va rentrer dans l'ordre. Ici, j'ai envie d'utiliser n plus 1 fois ln de n plus 1 moins n fois ln de n. Pourquoi ? Parce que quand je passe à l'équivalent, je me rends compte que c'est équivalent à ln de n, et ça c'est exactement ce que je veux ici. Comment j'ai passé à l'équivalent ? Je précise, ln de n plus 1, c'est une technique qu'on fait tout le temps, je dis que c'est ln de n fois 1 plus 1 sur n, puis je sépare mon ln en 2. Mon ln de n va se simplifier avec celui-ci, et le ln de 1 plus 1 sur n, c'est un développement limité en 0, puisque ça, ça tend vers 0 lorsqu'on est en plus-limpine. Je dis que c'est égal à 1 sur n plus petit o de 1 sur n, mais ça, en multipliant par n plus 1 ici, c'est clairement équivalent à ln de n lorsqu'on est en plus-limpine. Très bien, mais d'autre part, je remarque que ma somme est télescopique, encore une fois, et qu'elle est égale à n plus 1 fois ln de n plus 1, et ça, ça tend clairement vers plus-limpine lorsqu'on est en plus-limpine. On en déduit donc que la somme pour k lens de 1 jusqu'à n dln de k est équivalente à n plus 1 fois ln de n plus 1, mais ça, c'est lui-même équivalent à n fois ln de n.

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