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Équivalence et Suites

Dans ce cours, on étudie une suite U définie par U0 et Un+1 = sin(Un). 

Dans la première partie, on montre que cette suite est strictement positive, décroissante et tend vers zéro. On utilise le fait que le sinus est croissant sur l'intervalle [0, π/2] et que sin(0) = 0.

Ensuite, on admet que si une suite U a pour limite zéro, alors sin(Un) = Un - Un^3/6 + petit o (Un^3). On cherche alors à déterminer un réel alpha tel que la suite Vn = Un+1^alpha - Un^alpha ait une limite réelle non nulle. En utilisant le développement limité de sin(Un), on trouve que Vn est équivalent à 1/3 + petit o (1).

En appliquant le lemme de Césaro à la suite Vn, on obtient un équivalent simple de Un lorsque n tend vers l'infini. On utilise une somme télescopique et on trouve que 1/Un^2 est équivalent à 3/n.

En conclusion, on peut dire que la suite U est équivalente à la racine carrée de 3/n lorsque n tend vers l'infini.

On se retrouve sur un exercice que je trouve assez intéressant puisqu'il fait le tour de vraiment beaucoup de notions. On se donne U, une suite définie par U0, et Un plus 1 est égale à sinus de Un, et on te demande dans un premier temps de montrer que cette suite est strictement positive, décroissante et de limite nulle. Puis, on admet que si tu as une U, une suite de limite nulle, alors lorsque n d'envers plus l'infini, sinus de Un est égal à Un moins Un au cube sur 6 plus un petit o de Un au cube. Et on te demande de déterminer un réel alpha tel que la suite Vn, qui est égale à Un plus 1 puissance alpha moins Un puissance alpha, est une limite réelle non nulle. Puis, en appliquant le lemme de Césaro, que je te rappellerai, à cette suite Vn, on déduit un équivalent simple de Un lorsque n d'envers plus l'infini. Donc en gros, le nerf de la guerre ici, ça va être de déterminer un équivalent de Un lorsque n d'envers plus l'infini, et tu vois qu'on te guide pas mal tout au long de la question 2. Alors, on commence par la question 1. Moi, ce que j'ai envie de montrer, c'est que Un appartient à 0 ouvert π sur 2 pour toute n appartenant à Un. C'est déjà vrai pour U0, puisque U0 est égal à π sur 2, donc en particulier est compris entre 0 et π sur 2. Et puisque la fonction sinus est strictement croissante sur 0 π sur 2, on déduit que sinus de 0 est strictement inférieur à sinus de U0, qui est inférieur ou égal à sinus de π sur 2. Sauf que sinus de 0, c'est égal à 0. Ainsi, par récurrence immédiate, on sait que pour toute n appartenant à n, on a Un qui appartient à l'intervalle 0 ouvert π sur 2. Et en particulier, U est strictement positif. Ensuite, on sait aussi que pour toute x appartenant à R+, sinus de x est inférieur ou égal à x. Et ça, c'est visible sur le graphique de sinus, puisqu'on remarque que la droite y est égale à x. Certes, elle est très proche de sinus, mais elle est bel et bien au-dessus. On en déduit donc en particulier que Un plus 1, qui par définition de la suite est égale à sinus de Un, est inférieur ou égal à Un. On en déduit donc que Un plus 1, qui est égal à sinus de Un, est inférieur ou égal à Un, en posant x est égal à Un. Ainsi, U est décroissante. Montrons maintenant que la limite de cette suite est égale à 0. On sait que par continuité de la fonction sinus sur 0 π sur 2, fermée en 0, et donc en l en particulier, puisqu'on sait que l est forcément compris entre 0 et π sur 2, on a l, qui est égale à la limite lorsque Un tend à plus l'infini de Un plus 1, est égale à la limite lorsque Un tend à plus l'infini de sinus de Un. Mais ça, par continuité de sinus, on a le droit de passer la limite à l'intérieur. C'est égal à la sinus de la limite, et c'est égal à sinus de l. Sauf que le seul point, le seul réel compris entre 0 et π sur 2, qui vérifie sinus de l est égal à l, le seul point fixe de la fonction sinus dans 0 π sur 2, c'est bel et bien 0, ce qui force l est égal à 0. On passe à présent à la question 2, qui nous demande dans un premier temps de déterminer un réel A tel que la suite Vn, qui est égale à Un plus 1 puissance alpha moins Un puissance alpha, est une limite réelle non nulle, soit donc un alpha strictement positif. Je sais que Un plus 1 puissance alpha, c'est égal à sinus de Un puissance alpha. Mais ça, le sinus de Un, on me le donne dans l'énoncé, on me donne son développement limité à l'ordre 3. Je remplace, je factorise par Un, je le sors du coup, et là je me ramène à un développement limité que je connais, puisque c'est le développement limité de Un plus x puissance alpha avec x qui tend vers 0. En posant ici x est égal à moins Un au carré sur 6 plus petit o de Un au carré. Parce que ça, je sais que ça tend vers 0 lorsqu'Un tend vers plus l'infini. Ainsi je développe, et je trouve que Un plus 1 puissance alpha est égal à Un puissance alpha, le terme qu'on a factorisé est sorti, facteur de 1 moins alpha Un au carré sur 6 plus petit o de Un au carré. Ensuite je développe, et donc en retranchant Un puissance alpha, j'en déduis que Un plus 1 puissance alpha moins Un puissance alpha, c'est égal à moins alpha fois Un puissance 2 plus alpha sur 6 plus petit o de Un puissance 2 plus alpha. Mais ça du coup, en prenant alpha est égal à moins 2, autrement dit, en passant ce Un à la puissance 0, ce qui le fait disparaître, ce qui le remplace par 1, et on trouve bien que Vn qui est égal à 1 sur Un plus 1 au carré moins 1 sur Un au carré est égal à un tiers plus petit o de 1. Ça je le trouve ici. En remplaçant alpha par moins 2, du coup j'ai un moins 2 ici qui se transforme en 3, et ça qui se transforme en 1. Et bien sûr mon petit o de U puissance 2 plus alpha qui se transforme en petit o de 1, et ça c'est exactement la définition de la limite. On sait que si on a une suite Un telle que Un tend vers une limite finie, alors la somme de k allant jusqu'à 1 à n de U un 10k ou 1 sur n tend vers L appartenant à R. Ça pour se faire une intuition, on peut le voir comme la moyenne. Quand n va être très grand, Un en moyenne va valoir L. Et du coup on est en train de prendre la limite d'une moyenne. Si vous le pensez comme ça, on commence à avoir l'intuition que ça va tender à L si on prend une moyenne. Très bien, on applique le lemme de Césarot à notre suite Vn qui a une limite finie. Le lemme de Césarot nous dit donc que la somme pour k allant de 1 jusqu'à n de Vk, ou à 1 puissance n tend vers 1 tiers lorsque n tend vers 1 puissance infinie. Or je sais que cette somme là, Vk, c'est une somme télescopique. Ça on l'a déjà vu dans les exercices précédents. Télescopique, pourquoi ? Parce qu'elle fait les dominos. Ici on a un k plus 1, ici on a un k et ici on a un moins entre les deux. Elles vont s'annuler 2 à 2 et à la fin il nous restera uniquement 1 sur Un au carré moins 1 sur U0 au carré. Toujours facteur de moins sur n. Ainsi j'en déduis que 1 sur n fois 1 divisé par Un au carré moins 1 sur U0 au carré est égal à 1 tiers plus petit O2. Ça je le déduis de mon lemme de Césarot, puis de ma somme télescopique. Ça si je les imbrique, ça me donne ce résultat là. Soit donc en simplifiant cette expression là et en isolant le 1 sur Un au carré, j'obtiens que 1 sur Un au carré est égal à n divisé par 3 plus 1 sur U0 au carré plus petit O2n. Mais ce U0 au carré, c'est une constante. Et moi n tend vers plus l'infini, donc en particulier c'est très petit par rapport à n. Donc ça rentre dans ce petit O2n. J'en déduis donc, en passant à l'inverse, que Un au carré est équivalent à 3 sur n lorsque n tend vers plus l'infini. Et donc, en passant à la racine carrée, ce que j'ai le droit de faire puisque Un est positive, j'en déduis que Un est équivalent à racine de 3 sur n.

Lemme de Césaro

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