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Continuité

Apprendre à trouver des dérivées de fonctions ayant plusieurs expressions sur des intervalles différents est l'objectif de cette méthode. On apprendra qu'une fonction peut être continue mais pas forcément dérivable, et dans ce cas, il est important de vérifier la continuité en différents points de la fonction. Pour qu'une fonction soit continue, elle doit d'abord être définie et ensuite, elle doit être continue sur tous les points de l'intervalle, y compris les extrémités. Pour vérifier cela, on doit regarder les limites à gauche et à droite de chaque point de l'intervalle, ainsi que la limite de la fonction en ce point. Si toutes les conditions sont remplies, la fonction est continue. Dans les prochaines étapes, on abordera la dérivation de cette fonction.

Dans cette méthode, on va regarder comment on trouve la dérivée d'une fonction qui a plusieurs expressions sur différents intervalles. On va voir qu'elle n'est pas forcément dérivable, elle peut être continue, mais pas dérivable. Par exemple, pour la fonction f qui est définie à trois expressions selon les trois intervalles, on va regarder si elle est parfaitement continue. Alors, en trois, le premier point très important, pour qu'une fonction soit continue, il faut au moins qu'elle soit définie. Si elle n'est pas définie, ce n'est même pas la peine de regarder plus long. Donc là, évidemment, elle est bien définie en trois, c'est la deuxième expression. On le voit ici, c'est pour x supérieur ou égal à 3. Ensuite, évidemment, à part sur les limites entre les intervalles, elle est bien continue, sur le moins l'infini, 3, 5 et 5 plus l'infini. Et donc là, on va devoir se concentrer sur la continuité sur les points 3 et 5 qui correspondent aux extrémités de ces intervalles. Vu qu'il y a deux expressions différentes, à gauche et à droite de 3, on va regarder la limite quand x est supérieur à 3 avec x inférieur à 3 et x supérieur à 3 avec x inférieur à 3. Il faut que ces limites soient égales et égales à f de 3. Dans ce cas là, on aura la continuité. Quand x est supérieur à 3 avec x inférieur à 3, j'utilise la première expression, celle qui est là, la moins x plus 6, donc ça tend vers plus 3. Quand x est supérieur à 3, ça tend vers plus 3 aussi. Et d'autre part, f de 3, ça vaut 3. J'ai bien toutes les conditions requises pour que ma fonction soit continue en 3. J'ai f de 3 égale 3, la limite à gauche et à droite de f est bien égale à f de 3. Donc ça c'est bon. Ensuite, deuxième point, maintenant c'est en 5. En 5, on fait exactement la même chose, on regarde la limite quand x tend vers 5 avec x inférieur à 5, la limite quand x tend vers 5 avec x supérieur à 5, et là on se rend compte que ce ne sont pas les mêmes expressions. Dans un cas ça fait 7, dans l'autre cas ça fait 0, et f de 5 lui-même vaut 0. On n'aurait même pas besoin à la rigueur de regarder ça, dès le moment où la limite à droite n'est pas égale à la limite à gauche, c'est fini. Elle ne peut pas être continue ma fonction. Donc elle n'est pas continue en 5. Voilà, on a regardé la continuité, les prochaines étapes, maintenant on va regarder aussi la dérivation. Et ça on va le voir dans les méthodes d'après.

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