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Continuité

La fonction étudiée dans ce cours est f(x) = |x|^2 + 2x - 3. On constate par observation graphique que cette fonction n'est pas dérivable en x = -3 et x = 1. On peut expliquer cela par le fait que la valeur absolue introduit une discontinuité de pente en ces points. Cependant, f(x) est dérivable sur l'ensemble des autres points de R. Cette dérivabilité peut être justifiée en montrant que f(x) est une composition de deux fonctions continues, à savoir un polynôme et la fonction valeur absolue.

On va maintenant regarder la dérivabilité de la fonction valeur absolue et décomposer avec la valeur absolue. Alors on sait bien que la valeur absolue n'est pas dérivable en 0 parce que ça fait 1 dré, donc il n'y a pas la même pente à gauche et à droite, donc elle n'est pas dérivable. Et là on va regarder une fonction qui fait intervenir la valeur absolue. Cette fonction c'est celle qui est proposée par l'énoncé f de x égale valeur absolue de x au carré plus 2x moins 3. Alors déjà pourquoi la fonction est continue sur R ? Première question, tout simplement parce que c'est une composée de deux fonctions, un polynôme et la fonction valeur absolue, qui sont toutes les deux des fonctions continues. La valeur absolue n'est pas dérivable, mais par contre elle est bien continue, pas de problème pour ça. Donc par composition j'ai bien une fonction qui est continue sur R. Je vous l'ai tracée la fonction pour qu'on voit ce qu'il se passe. A cause de la valeur absolue, là en fait sans valeur absolue on aurait un polynôme classique, et là en fait on passe dans les positifs sur cette partie là. Donc il y a une discontinuité de la pente sur ces deux points là et donc là elle ne va pas être dérivable. C'est là où la fonction ne sera pas dérivable. Donc d'après le graphique là, dans cette méthode, on nous demande simplement de constater graphiquement, on constate, c'est pas une preuve, c'est juste une constatation, que f n'est pas dérivable en moins 3 et en 1, mais sur tous les autres points. Pas de problème, on a les fonctions usuelles. Donc elle est dérivable sur R tout entier, privée des points moins 3 et 1. Voilà pour ce premier aperçu des composés avec la fonction valeur absolue.

Dérivabilité en un Point

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