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Continuité

Le prolongement par continuité est une méthode importante en mathématiques. Il est utilisé lorsque nous avons une fonction qui n'est pas définie en un point A, mais qui a une limite définie quand x tend vers A. Nous pouvons alors prolonger la fonction en A par continuité. Pour ce faire, nous posons f(A) égale à la limite de f(x) quand x tend vers A. Cela crée une fonction qui est définie et continue en A. Par exemple, la fonction f(x) égale x sur x n'est pas définie en 0, mais a une limite égale à 1. Nous pouvons prolonger cette fonction en faisant f(0) = 1. Dans l'exercice donné, la fonction proposée est f(x) égale à sinus 1 sur x pour x différent de zéro, et f(0) = 0. Nous devons prouver que cette fonction est bien continue en 0. Pour ce faire, nous utilisons le théorème d'encadrement en montrant que la valeur absolue de f(x) est encadrée entre 0 et x. Puis, nous prouvons que la valeur absolue de f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0. En utilisant le théorème d'encadrement, nous montrons que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est bien égale à 0, ce qui prouve que la fonction est bien continue en 0.En utilisant des méthodes mathématiques comme le théorème d'encadrement, nous pouvons prouver que les fonctions prolongées par continuité sont bien définies et continues.

On va parler maintenant du prolongement par continuité, qui est un point très important. Alors quand est-ce qu'on utilise le prolongement par continuité? Il faut plusieurs conditions. La première, c'est que si on parle du prolongement par continuité en un point, que je vais appeler A ici, ce point là, pour cette fonction f, n'est pas défini en ce point, donc ça c'est l'hypothèse de départ, elle n'est pas définie parce qu'il y a une valeur interdite, par exemple, ou pour d'autres raisons, et que la limite quand x tend vers A existe est définie. Donc là qu'est-ce qu'on peut faire? On peut poser, on va dire qu'on va prolonger f en A par continuité, et on va poser f de A qui est égal à la limite quand x tend vers A de f de x. Et donc là on crée une fonction qui alors définit et continue en A. Alors exemple, dans quel cas ça arrive en fait, j'ai parlé de valeur interdite, mais en fait les valeurs interdites souvent ont une limite vers plus ou moins l'infinie, typiquement 1 sur x tend vers plus ou moins l'infinie. Donc là je ne peux pas faire de prolongement par continuité. Par contre, l'exercice qu'on va voir dans celui-là c'est possible, mais si on prend des exemples même encore plus simples, je vais vous prendre un exemple un peu bête, mais je vais poser f de x égale x sur x. Vous allez me dire, ça ça fait 1 en fait, c'est la fonction constante égale à 1. En fait pas exactement, parce que le problème de cette fonction c'est qu'elle n'est pas définie en 0. Elle n'est pas définie en 0 à cause du dénominateur. Donc là si je la trace, à la calculatrice vous n'allez pas voir la différence, parce qu'il y a juste un point où elle n'est pas définie, et ce point c'est quoi? C'est 0. En fait en 0 elle n'est pas définie, donc comme c'est juste un point, sur la calculatrice vous ne verrez pas, vous verrez une droite. Mais en fait en toute rigueur, en 0 elle n'est pas définie. Par contre ce que je vais faire, c'est que je vais pouvoir la prolonger par continuité. Je vois que la limite à gauche est la limite à droite. En fait dans les deux cas ça tend vers 1, parce que c'est la fonction constante égale à 1. Donc je vais pouvoir prolonger f par continuité, et dire, je pose f de 0 égale 1. Et là j'aurai bien une fonction qui est définie et continue. Voilà, c'était un exemple un peu très simple pour qu'on voit ce qu'il se passe, mais c'est exactement ce qu'on va faire dans cet exercice là. Donc la fonction proposée c'est celle-ci. Et là, le prolongement par continuité est déjà proposé. On nous propose f de 0 égale 0. Et pour toutes les x différentes de 0, on a f de x qui est à la x sinus 1 sur x. Donc là elle n'est pas définie en 0, enfin si on prenait que ces expressions, on a un problème de définition en 0, parce qu'à cause du 1 sur x, qui nous interdit de prendre la valeur 0. Donc là on va vérifier est-ce que cette fonction est bien continue, proposée telle qu'elle est. Est-ce que c'est bien le prolongement par continuité qu'on a fait? Donc si on a tracé la calculette déjà, ça fait un sinus dont l'amplitude se réduit, et qui oscille de plus en plus vite. Et plus on zoom, plus on verra ça. Donc là on voit effectivement que ça a l'air de se rapprocher vers 0, même si elle n'est pas définie. Donc on peut conjecturer au vu de graphique que cette fonction est bien continue en 0, parce que elle vaut 0 en 0, ça on l'a posé, et il semble que la limite de f de x quand x tend vers 0, à droite et à gauche, soit égale à 0. Donc du coup elle a l'air continue. On n'a rien prouvé, donc on va le démontrer. Alors déjà petite astuce, quand on demande de démontrer des limites avec des fonctions qui contiennent du cosinus ou des sinus, il faut penser vraiment théorèmement à l'encadrement, parce qu'un sinus c'est un cosinus, et je ne peux faire que ça, ça aussi entre moins 1 et 1, ça n'a jamais de limite. Donc je ne peux que l'encadrer. Donc il faut vraiment se dire, très bien j'encadre mon sinus 1 sur x, peu importe ce qu'il y a dedans, c'est un sinus justement, donc je l'encadre entre moins 1 et 1. Alors pour des raisons de simplicité, pour ne pas avoir à dire est-ce que je multiplie par quelque chose de positif ou négatif, je vais prendre les valeurs absolues, ça me suffira. Donc c'est à dire que la valeur absolue, elle est plus petite que 1, donc quand je prends la valeur absolue, je multiplie par x, la valeur absolue de x sinus 1 sur x, c'est compris entre 0 parce que c'est une valeur absolue, et x, parce que le sinus de 1 sur x lui-même est plus petit que 1. Et ce qui est bien, c'est que quand x tend vers 0, cette expression là tend vers 0, donc d'après le théorème d'encadrement, j'ai bien l'existence de la limite, et je vais trouver, ça vaut 0. Le théorème d'encadrement me donne les deux informations à la fois, le fait que ça converge, et en plus je trouve ma limite. Donc du coup j'ai bien la valeur absolue qui tend vers 0, et si la valeur absolue tend vers 0, ça veut dire que la fonction elle-même, sans valeur absolue, tend aussi vers 0. Donc voilà, j'ai bien prouvé que ma fonction f est continue en 0, donc c'était bien un prolongement par continuité qui avait été proposé par l'exercice. Donc voilà pour cette méthode, pour le prolongement par continuité. Si vous avez des questions, n'hésitez toujours pas à les voir dans l'FAQ. Voilà!

Prolongement par Continuité

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