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Polynômes du Second Degré

Dans ce cours de mathématiques, nous avons vu plusieurs exemples de facteurisation de trinômes. Pour le premier, nous avons utilisé une astuce pour factoriser f2x = -0,5x² + 5x - 12,5 en utilisant -0,5 comme facteur commun. Pour le deuxième, nous avons cherché une racine évidente en remarquant que les coefficients semblaient s'approcher de zéro pour x = 1. Nous avons ainsi trouvé que g² = 4x² + 4x - 8 = (x-1)(x+2). Pour le troisième exemple, nous avons utilisé la méthode du delta pour trouver que h²x = 3x² - 2x + 2,4 n'était pas factorisable. Nous avons également montré qu'il était possible d'obtenir la forme canonique x² - (2/3)x + 1/9 en faisant un petit calcul. En somme, nous avons vu différentes méthodes pour factoriser des trinômes et comment les utiliser en fonction de la situation.

Quelques exemples en plus de formes factorisées pour certains trinomes Je vous les fais, je pense qu'ils sont assez intéressants f2x égale moins un demi de x² plus 5x moins 12,5 Là c'est un peu spécial mais j'ai envie de mettre moins un demi en facteur moins un demi ça fait moins un demi fois x² pour retrouver 5 il faut que je fasse moins 10 parce que si vous faites moins un demi fois moins 10 ça fait bien 5 donc moins 10x ça fera plus, qu'est ce qui divisé par 2 fait 12,5? 25 et là j'ai de la chance parce que dès que je vois ça identité remarquable, je reconnais, une forme factorisée parfaite c'est le carré de x moins 5 x moins 5 au carré, en effet j'ai x2, le a² plus b² moins 2ab ici donc dès que j'ai ça, c'est fait pas besoin de s'embêter à faire le delta vous faites beaucoup d'exercices, beaucoup de méthodes que je vous montre des fois c'est bien de faire le delta et c'est pratique et ça fonctionne à 100% des cas mais il y a des fois où à force d'habitude et de regard à force de concentration et d'observation vous pouvez repérer des résultats plus simples plus rapides si vous voulez et c'est une bonne habitude que j'ai bien envie de vous faire entraîner donc j'essaie de vous montrer un peu à chaque fois que c'est possible donc là je factorise comme réflexe usuel x² plus x moins 2 là tout de suite je me dis attention je sens qu'il y a peut-être de la racine évidente, pourquoi je me dis ça? parce que je vois que les coefficients ont l'air de s'approcher de 0 pour la valeur x égale 1 parce que si je mets un 1 ici, je vois que ça fait un genre de 1 plus 1 moins 2 je l'ai, ça va marcher mais des fois il faut le sentir aussi comme ça des fois c'est peut-être 2² plus 2 moins 2 etc mais toujours un peu avoir dans le bas de votre tête dans le coin de votre tête quelque part, avoir le fait de tester des petites racines évidentes ici la racine évidente que je vais tester tout de suite c'est 1 et ça va être payant parce qu'on trouve que g² égale 4 fois 1² plus 1 moins 2 égale 0 donc c'est la combinaison des coefficients qui me fait tenter j'aurais eu x² plus 37x moins 2 mais j'aurais même pas essayé une racine évidente même pas j'essaie de mettre un ou deux là-dedans parce que le 37 fera exploser le résultat, ça sera beaucoup trop gros ici quand j'ai 1, 1, 2, ça se tente donc je trouve g² égale 0, c'est parfait j'applique le fait que le produit des racines égale à moins 2 ici vous avez appris que le produit des racines vaut c sur a et donc pour cette forme du polynôme a égale 1 donc c'est 1x² et c vaut moins 2 je sais que les deux racines x1 fois x2 est égale à moins 2 donc comme x1 c'est égal à 1 x1 c'est 1 x2 est égal à moins 2 et donc je peux écrire tout de suite g²x égale 4 fois et je remplace celui-là par x-1 x--2 qui fait x plus 2 c'est fait, avec le delta encore une fois ça marcherait aussi la dernière h²x égale 3x² moins 2x plus 2,4 on va essayer de gérer ça donc h²x égale 3x² moins 2x plus 2,4 alors 2,4 c'est un peu spécial mais bon écoutez pourquoi pas bon je vais mettre 3 en facteur si je mets 3 en facteur ça fait 3 facteur de x² moins 2 tiers de x plus 0,8 bon c'est pas idéal je pense qu'en faisant ça ce que j'espérais c'est que l'exercice soit fait pour faire apparaître une racine je pense que je vais reculer un peu et pas faire ça parce que si je quand je vois ça je suis pas du tout motivé pour mettre des 1 des 2 pour tenter de trouver une racine évidente et je vois pas vraiment non plus je vois pas non plus de carré évident ce que je vois dans x² moins 2 tiers de x c'est qu'à la limite je pourrais faire la forme canonique à la main ça je peux faire mais je pense qu'autrement ce que je ferais donc là je vais le faire pour aller au bout ce que je ferais c'est repartir d'ici et faire le delta mais x² moins 2 tiers de x ça me donne envie d'écrire x moins 1 tiers le tout au carré qui quand je développe fait bien x² moins 2 tiers de x plus 1 tiers au carré donc qui fait 1 neuvième qui est tiré pour bien être dans l'égalité si vous voulez donc là j'ai le moins 1 neuvième qui vient faire en sorte qu'on ait bien cette forme canonique qui se forme sans rajouter de terme qui a rien à faire là quoi plus 0,8, bon 0,8 je vais le mettre en 8 dixième c'est à dire en 4 cinquième on va essayer de gérer ça or 4 cinquième moins 1 neuvième égale en fait est positif strict et donc je vais écrire comme ça si vous voulez vu que c'est positif strict hop, d'un côté j'ai ça qui est positif ou nul j'ai ça qui est positif strict, j'ai même pas besoin de faire le calcul de fraction ou mettre mon dénominateur et ça conclut que le tout est positif strict positif strict, il n'a donc pas de racine il n'est pas factorisable, il n'a pas de forme factorisée question réglée ou bien ça ça marche, ou bien méthode du delta delta égale en l'occurrence ici j'ai triboté l'équation j'ai été voir ce que je pouvais faire c'était pas mal c'est toujours bien d'essayer, c'est ce que je vais encourager mais c'est vrai que le delta aurait été beaucoup plus rapide donc je vous montre le 2, moins 4 fois 3 fois 2,4 4 fois 3, 12 c'est déjà beaucoup plus grand que 2 au carré, tout ça est négatif pas de solution voilà, donc c'était 3 petits exemples un qui se fait en détectant tout de suite le carré parfait un qui se fait avec une racine évidente un où ayant ces méthodes en tête, j'ai tenté de les faire apparaître j'ai pas vu, donc j'ai réagi on fait une forme canonique, ou on fait le delta on trouve que c'est pas factorisé ça vous donne un petit aperçu de différentes méthodes et la manière dont quand vous êtes à l'aise il faut savoir les utiliser j'espère que c'était assez clair et que ça donnait pas mal d'illustrations, je vous dis à la prochaine!

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