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Polynômes du Second Degré

Ce cours traite de la résolution d'inéquations avec des polynômes de degré 2. Pour comprendre le comportement des fonctions polynômes en fonction de A, B et C, on peut se référer à leur forme en sourire ou en tête, déterminée par la valeur de A. Lorsque delta est négatif, la fonction ne croise jamais l'axe des x et est toujours positive stricte. Si delta est égal à 0, la fonction est nulle en un seul point mais toujours positive. Enfin, si delta est positif, la fonction est un peu plus basse que les précédentes et croise deux fois l'axe des x. Il suffit ensuite de tout mettre du même côté d'une équation pour avoir quelque chose plus grand ou plus petit que 0. Ensuite, on peut factoriser et calculer delta pour trouver les racines de la fonction. Ensuite, on peut tracer un tableau de signes pour déterminer la solution de l'inéquation.

Exercice sur une méthode assez classique également, mais un petit peu plus complexe déjà, résoudre des inéquations avec des polynomes de degré 2. Donc premier truc à savoir, bilan de cours, comment se comportent les fonctions polynomes de degré 2 en fonction des différents paramètres, les paramètres étant A, B et C. Pour les fonctions qui sourient, j'appelle les fonctions qui sourient celles qui ont un A positif, parce qu'elles ont une tête de sourire. Quand le delta est négatif, c'est-à-dire quand il n'y a aucune racine, alors la fonction ne croise jamais la x et y, elle est toujours au-dessus, on peut dire que la fonction est toujours positive stricte. Quand delta est égal à 0, la fonction est toujours positive mais elle est nulle en un seul point, le point (-v sur 2a en l'occurrence). Quand delta est positive, c'est-à-dire quand la fonction polynomiale a deux racines, elle est un peu plus basse que les précédentes et elle croise donc deux fois l'axe des x. Quand on vous demande le signe de cette fonction, on repère très vite qu'entre les deux racines, elle passe sous l'axe, elle est donc négative, mais au-delà des deux racines, avant x1, après x2, elle est positive. C'est le même comportement pour les fonctions qui font la tête, celles où a est négative. Soit, quand delta est négative stricte, elle ne touche jamais l'axe, elles sont donc en dessous parfaitement. Quand on avait ici une fonction qui était complètement positive stricte, ici on a une fonction complètement négative stricte. Ici la fonction quand delta est égal à 0 est négative ou nulle en ce point. Et ici quand il y a deux racines possibles, quand delta est positive, on voit que la fonction est au-dessus de l'axe aux x, entre les deux racines, et en dessous de l'axe aux x, au-delà des racines. C'est assez simple de s'en rappeler avec des petits dessins. Une fois que vous avez ça, on peut l'appliquer dans un exemple concret. Première étape pour un exemple concret, tout mettre du même côté d'une équation, pour faire en sorte d'avoir quelque chose plus grand ou plus petit que 0. Donc là ce que je vais faire, c'est prendre tout ça et le mettre ici, avec le 2. Ça me donne 0 plus petit ou égal à 6x², moins 15x, plus 4, plus 2, plus 6. Ça je vois tout de suite que je peux le factoriser. Or 6x² plus, pardon, moins 15x, plus 6, je peux factoriser par 3. C'est 3 fois 2x² moins 5x, plus 2. Et donc j'aurais ça qui est plus petit que 2, en gros. Si seulement 6x est positif, en fait c'est la même chose que si cette chose là est positive. Je vais poser ça comme une h2x, si vous voulez. h2x égale 2x² moins 5x, plus 2. On ne se prend pas vraiment la tête. On s'occupe du calcul delta égale b² 25, moins 4ac, 4 fois 2 fois 2. Ça fait 4x4 16, c'est 25 moins 16 égale 9. Ça c'est 3². J'obtiens donc x1 égale, moins b donc 5, moins racine de delta 3, divisée par 2 à 4, et x2 égale 5, plus la racine de delta, donc 3 sur 4. Si on simplifie, x1 égale 1 demi, x2 égale 8 sur 4, 2. Je peux tracer tout de suite un petit tableau de signes, si vous voulez. Je sais que, entre les deux racines, ma fonction va être négative. C'est une fonction qui sourit. Donc ici j'ai un h2x avec un 2 ici. Entre les deux racines, pour les deux racines ça va être nul. Entre les deux racines c'est négatif. Au-delà des deux racines c'est positif. Voilà, moi je sais que j'ai la solution de mon inéquation. Si et seulement si h est positive, ça veut dire qu'on est dans cette zone ou cette zone-là. Je peux donc conclure et écrire, grand s égale, moins l'infini, 1 demi. Je ferme la parenthèse parce qu'on a dit, plus grand ou égal à 0, plus petit ou égal à 2. Ça serait strict, j'ouvrirais le crochet. Union, 2, plus l'infini. Ça c'est tout l'espace en dehors des racines. C'est ma solution. Et un deuxième exemple, je vous laisse le faire vous-même s'il y a besoin. S'il y a des questions, n'hésitez pas. Dites-moi si vous avez soit un problème sur le rappel de cours, soit sur la petite méthode ici. Donc première étape, je rappelle, mettre tout du même côté, puis détecter une fonction et l'analyser, en appuyant juste le cours. Voilà, j'espère que c'était assez concis et assez précis. Et je vous dis à une prochaine.

Les inéquations

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