Home

Première

Maths

Analyse

Polynômes du Second Degré

Ce cours traite de la résolution d'équations de bicarré avec uniquement des puissances de 2 en x² et x4. On pose un grand x, résolvons l'équation de manière basique avec le cours du polynomial de second degré et en gardant à l'esprit que x est positif. Si x n'est pas positif, il ne convient pas. Nous pouvons également repérer une racine évidente pour faciliter la résolution. Le résultat final est un ensemble de solutions qui est soit x égal à -2, soit x égal à 2, et il est important de se rappeler que x doit être positif.

Imaginez qu'on vous propose de résoudre une équation du degré 4 un peu comme celle-ci x4-3x3-5x2-7x-9x0 Ça devrait vous laisser pantois. On ne sait pas résoudre ça. En moyenne, pour une équation quelconque du degré 4, il n'y a pas de méthode typique qui marche systématiquement. C'est embêtant. Mais ce qui se passe, c'est que si on a un certain cadre d'équation où le terme en x3 et le terme en x n'existent pas, sont nuls, alors, on appelle ça une équation bicarrée, on pourra résoudre. Ce qu'on va faire, c'est que quand on a une équation de ce type-là, avec du degré 4 en effet, mais uniquement les puissances paires, 4 et 2, on peut regarder l'équation, non pas comme une équation de degré 4, mais une certaine équation de degré 2, pour la variable x². Parce qu'en fait, ici, vous remarquez qu'il y a le bloc x², et il est aussi ici en x²o². Donc ça va être la méthode. Le but pour vous, c'est que c'est un peu un exercice plus avancé, mais un exercice plus difficile, qui tombe souvent que les profs aiment bien. Je vous conseille de bien le repérer. Le repérer, c'est quand ce n'est pas écrit « équation bicarrée », c'est le nom qu'on donne à ces équations, il faut repérer vraiment cette méthode-là. On a x4-2x2-8 égale 0. Si et seulement si. J'ai envie de l'écrire un peu plus lisiblement. x²o²-2x²-8 égale 0. Donc là, si on pose, on va faire ça à chaque fois dans ce genre d'équation, soit X égale x2, on remarque que X est donc positif ou nul, par définition de X, X étant égal à un carré parfait, il est positif ou nul. On a x²-2x²-8 égale 0 à résoudre, sachant que X est positif ou nul. Et ça, comme équation, on sait faire. C'est très facile. C'est une équation du degré 2, ça se tente, vous pouvez tester plusieurs trucs. Ce qui est intéressant à essayer, c'est une racine évidente. Vous pouvez faire avec le delta, ça marchera très bien. On peut voir une petite racine évidente. Par exemple, si j'écris (-2²-2x-2-8 égale 4, plus 4, moins 8, égale 0). Je repère tout de suite la racine évidente, (-2). Et donc, si (-2 est racine), je vais appeler cette équation... (-2 est solution de cette équation, de l'étoile), par les propriétés qu'on connaît sur le fait que (-8 est égal au produit des deux racines), je peux en déduire que 4 est l'autre racine du polynôme. Avec le delta, ça marchera très bien. Je le fais un peu en accéléré, en vous mettant la méthode où on repère une racine évidente. C'est toujours bien d'essayer de les repérer. Là, ce n'est pas la plus simple. D'habitude, il faut tester 1, –1, 2. –2 serait peut-être la dernière à essayer. Mais je vous montre un exemple comme ça, où ça fonctionne. Donc, qu'est-ce qu'on a? On a deux racines possibles, ici, pour cette équation étoile. Mais on a une contrainte en plus. C'est qu'on a posé un x, c'est une écriture, mais le x n'est pas n'importe quoi, c'est x². Donc on a un x qui est positive strict. Ça veut dire que –2 ne sera pas un bon candidat. On obtient... Pourquoi ce n'est pas un bon candidat? x égale x² égale –2, ou x égale x² égale 4. Ici, on peut barrer tout de suite. Impossible. Il n'y a pas de solution à x² égale –2. On obtient donc en conclusion, à partir de ça, l'ensemble des solutions de l'équation, qui est égal à... Les solutions de x² égale –4, c'est –2 ou 2. Voilà comment on résout une équation de bicarré. Ce n'est pas trop compliqué, mais la méthode est toujours la même. Il faut repérer qu'il n'y a que des puissances de 2 en x² et x4. On pose un grand x, on résout l'équation de manière très basique avec le cours du polynomial de second degré, en gardant en tête la contrainte que x est positif. Si vous oubliez que x, grand x, est positif par définition, vous allez garder des solutions qui sont absurdes. Normalement, en écrivant petit x² égale –2, vous allez vous en rendre compte, et ça va vous rappeler qu'il faut s'en débarrasser, et qu'il ne faut pas la considérer, parce qu'il n'y a pas de solution ici. L'idée, c'est ça. Vous résolvez ce système, ça fait que vous n'avez plus qu'une seule solution. Pour peu qu'elle soit positive, alors vous trouvez des solutions pour petit x. x² égale 4, c'est soit x égale –2, soit x égale 2. C'est l'ensemble des solutions qu'on cherche. J'espère que c'était clair. Posez des questions si vous en avez besoin. À la prochaine.

Les équations bi-carrés

RELATED

Recommended videos

La forme canonique

Tableau de variations

Racines