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Polynômes du Second Degré

Dans cet exercice mathématique, on cherche deux entiers dont la somme est 51 et le produit est 308. Pour résoudre cette équation, on utilise le polynôme de second degré en se basant sur le théorème selon lequel, dans un polynôme AX2 plus BX plus C, les racines ont une somme de -B/A et un produit de C/A. En remplaçant les valeurs données dans le polynôme, on trouve les racines uniques de l'équation en calculant le delta. On peut également utiliser une méthode arithmétique pour décomposer 308 en facteurs premiers et chercher deux nombres dont la somme est égale à 51. Le professeur encourage les étudiants à poser des questions et explique que les identités remarquables peuvent aider à effectuer des calculs mentaux plus rapidement.

Un exercice grand classique de ce qu'on peut faire avec des polynômes, tout exercice qui vous dit, trouvez deux inconnus, deux entiers ici, dont la somme fait quelque chose et le produit fait quelque chose, 51,308. On vous donne la valeur de la somme, la valeur du produit, quand vous voyez ça, il faut penser au polynôme de second degré, tout de suite. Pourquoi? Parce que vous, vous avez cette théorème qui vous dit, dans un polynôme AX2 plus BX plus C, s'il y a des racines, alors, leur somme fait moins B sur A et leur produit fait C sur A. Ce qu'on a déjà vu dans une vidéo précédente. Là, quand vous avez ça, donc soit N et P, c'est les entiers, il faut penser, vu que j'ai N plus P égale 51, N fois P égale 308, en fait, ils sont racines, c'est deux entiers, ils sont les racines de F2X égale, X carré moins la somme des racines, donc moins N plus P fois X plus N fois P. Et ça, quand vous vous remplacez, ça fait X carré moins 51X plus 3008. Et donc, quand vous avez ça, l'idée c'est de faire le delta et de résoudre le polynôme. Parce que vous savez que N et P sont les racines, donc ce sont les deux racines uniques du polynôme, on est parti sur un delta. Alors c'est un peu compliqué, ça fait 51 au carré moins 4 fois 308, soit vous avez une calculette, si vous allez vite, soit vous le faites un peu à la main. Donc là, en brouillon, 51 au carré, moi comment je fais, c'est 50 plus 1 au carré, hop, petite notité remarquable pratique, ça sert à quelque chose, donc c'est 2500 plus 1, donc A2 plus B2 plus 2 fois 50 fois 1, ça fait 2601. Donc ça, vous faites un calcul rapidement, donc 2601 moins 4 fois 308. 4 fois 308, c'est 4 fois 300, 1200, plus 4 fois 8, 32, donc moins 1232. Égal, vous enlevez 1200 à 2601, ça fait 1401 moins 32, et ça vous fait, moins 30, ça fait 1371, donc ça fait 1369. Vous connaissez votre table des carrés par cœur, là je me fous un peu de vous, ça, il se trouve que c'est 37 au carré. Il faut le savoir, ça fonctionne, c'est bien. Vous avez delta égal 37 au carré, magnifique. On trouve donc les deux solutions au polynôme F. Les racines de F sont n égales, moins B plus racine de delta, donc 51 plus 37 sur 2, et P, ce sera le second, moins B, donc 51, moins 37 sur 2. Là je vais vous faire un exemple un peu marrant, enfin marrant, un peu compliqué, parce que le delta n'est pas si simple, mais c'est pour vous montrer que le calcul mental ça se fait, notamment grâce aux identités remarquables, qui sont donc utiles dans la vraie vie, dans les exercices de maths en tout cas. Ça fait 88 sur 2, 44, et P égal, 51 moins 37, ça fait quoi, ça fait 21 moins 7, 14, 7, voilà les deux solutions. Une autre manière de faire, si vous voulez, sans passer par les polynômes, ça serait d'essayer de voir comment décomposer 308. Ça serait une méthode alternative, je ne vais peut-être pas passer trop de temps dessus, mais méthode 2, sans polynômes pour le coup, juste de l'arithmétique, c'est écrire une décomposition en facteur premier de 308. Vous écrivez 308 égal, donc ça c'est facile à diviser par 2, ça fait 154 fois 2, 154 divisé par 2 ça fait 77 fois 4. L'idée c'est de se dire, attends, là j'ai un produit de SQ, c'est de nom, quand je fais la somme, ce ne serait pas N et P, si c'est N et P, c'est-à-dire que la somme doit faire 51, comme je l'ai dit, N plus P doit faire 51. Là si je prends N et P, ça fait 156. Nul, ça ne marche pas. 77 plus 4, 81, ça ne marche pas. Mais est-ce que je ne peux pas trouver, quand j'écris la décomposition totale en facteur premier, une autre manière d'écrire 308 comme facteur de 2 nombres, mais dont la somme ferait 51? J'ai écrit 77 fois 4, je peux faire 7 fois 4, 28 fois 11, je peux aussi faire 4 fois 11, 44 fois 7. Et dire, une fois que j'ai écrit toutes ces décompositions-là, dire, ben attends, 28 plus 11, ça fait 39, ça ne marche pas, 44 fois 7, ça marche, la somme de 2 fait bien 51. C'est une manière purement arithmétique de trouver les N et P. Ça fonctionne aussi, c'est moins intéressant dans ce chapitre, parce qu'on voulait plutôt travailler sur les polynomes, mais voilà, c'est le genre de méthode. Soit vous êtes un peu à droit en arithmétique, vous essayez de faire ça un peu rapidement, le prof sera un peu déçu, parce que je pense qu'il voulait vous voir faire un petit delta, soit vous faites le polynome. J'espère que ça vous a aidé, posez des questions aussi si vous avez, et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Inconnues : partir d'une somme et d'un produit

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