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Polynômes du Second Degré

L'exercice de mathématiques consiste à explorer une famille d'équations de la forme x²+mx-2m=0 en fonction du paramètre m. Pour m=2, l'équation devient 0x²=0 et la solution unique est x=1/4. Si m est différent de 2, l'équation est un polynome de degré 2 et le discriminant delta est -4(m-2), qui détermine le signe de delta et donc le nombre de solutions de l'équation. Si m est plus petit que 0 ou plus grand que 10, il n'y a pas de solution réelle. Si m est égal à 0 ou 10, il y a une solution unique et si m est compris entre 0 et 10, il y a deux solutions réelles. Les solutions sont explicitement calculées pour chaque cas.

Un exercice pas facile pour aller beaucoup plus loin. Alors ça c'est un type d'exercice, j'appelle ça vers le supérieur parce que c'est le genre de de raisonnement qu'on vous fait refaire quand vous faites des maths un peu poussées. C'est un exercice qu'on appelle A paramètre. On va explorer quelque chose que vous connaissez, c'est à dire ici les fonctions x², donc vous avez x², du x, etc. Mais avec un paramètre en plus, c'est à dire une valeur réelle, m ici, qui va varier, qui va évoluer et qui va faire qu'en fait, au lieu d'étudier uniquement une équation, en fait on va être en train d'étudier un peu une famille d'équations. Parce que par exemple si je prends m égale 4 ici, 4-2 j'aurais du 2x². Donc j'aurais une fonction qui sourit. Si on me dit qu'il y a un m quelconque, je lui dis mais attendez, mais m peut être égal aussi à je sais pas, à moins 5. Donc si c'est moins 5, j'aurais du moins 5 moins 2, du moins 7x². Donc si m égale moins 5, mon équation devient ça. Ce qu'on attend de vous, c'est que vous débloquez un peu les différents cas. Donc là spontanément, quand vous voyez ça, ne vous faites pas paniquer. Il faut juste dire stop, regardons un peu ce m là, quand est-ce qu'il se passe des trucs un peu bizarres? Si m vaut ça, alors voilà ce qu'il se passe. On va faire ça plusieurs fois pour différents cas. Le premier truc qu'il faut remarquer au brouillon ici, c'est que si m égale 2, on se dit que m égale 2 est quand même particulier, parce que quand je dis m égale 2, tout ça, ça dégage, il ne reste plus de x². Donc premier truc à faire, vu qu'on nous dit discuter selon les valeurs de m, on va discuter, c'est-à-dire qu'on va dire voilà ce qui se passe pour telle valeur, et puis on va voir un peu ce qui se passe pour le reste. On commence par le truc qui saute aux yeux. D'être proactif, de regarder tout de suite s'il n'y a pas une valeur assez particulière. Ici je prends 2 parce que c'est celle qui nous fait dégager le x². J'ai appelé ça l'équation E, j'ai mis un petit nom ici. L'équation E devient 0x² égale 0. Si et seulement si, là c'est 8x, 2 fois 4 c'est 8, donc 8x égale 2. Si et seulement si, x égale 1 quart. Dans le cas où m égale 2, égale 1 quart. Solution unique. Maintenant je vais prendre m différente de 2. J'ai un peu mis de côté ce cas-là, on va regarder m différente de 2, qu'est-ce qui se passe. Si m différente de 2, j'ai un polynome du second degré. Alors si m moins 2 est positif, c'est un polynome qui sourit, si m moins 2 est négatif, c'est un polynome qui fait la tête. Mais pour l'instant je m'en fiche, moi j'ai m différente de 2, tout ce que je fais avec un polynome c'est calculer le delta. Donc moins 4 fois m moins 2, c'est 2m moins 2, donc c'est 2 fois m moins 1. Ok, donc ça je développe en utilisant une petite identité remarquable pour m plus 2 au carré. Donc le moins 2 devient 4. Moins 4 fois 2, donc 8, facteur 2, m moins 2 fois m moins 1, donc ça ça fait m carré moins 2m moins m, donc moins 3m, moins 2 fois moins 1 plus 2. Vous avez ce truc-là, maintenant on peut le simplifier, dire combien il y a de m carré là-dedans, il y a 4m carré moins 8m carré, ça fait moins 4m carré, donc j'accélère un peu les calculs, 4 fois 4, 16m ici, moins 8 fois moins 3, ça fait plus 24m, donc 16m plus 24m plus 40m, et enfin vous avez 4 fois 4, 16, moins 8 fois 2, 16. Je m'arrête là, il n'y a pas de constante. Je m'arrête pas là parce que j'ai envie de simplifier quand même, donc je peux mettre moins 4 en facteur. Là c'est parfait, parce que je suis en train de me rendre compte que j'ai un delta, qui en fait est une petite fonction de m. Selon la valeur de m, j'ai calculé en gros tous les deltas possibles. Moi je sais qu'il y aura des solutions à l'équation, que si le delta est positif. Donc je peux me dire, là je comprends, le signe de mon delta va dépendre de m. Qu'est-ce qu'on fait? On fait un tableau de signes. Pour delta, moins 4m s'annule en 0, m moins 10 s'annule en 10, en mettant mes signes. Donc moins 4m, vu que c'est moins 4m, quand m est négatif, c'est positif. Négatif, négatif, ça vaut 0 ici. m moins 10, ça vaut 0 ici. Et donc c'est négatif, négatif, positif. Le produit des deux sera négatif, nul, positif ici, nul, négatif. Et donc qu'est-ce que je peux dire? Si m est plus petit que 0, ou m plus grand que 10, delta m, strictement négatif, pas de solution. Donc là ma discussion évolue. Parce que j'avais déjà dit, si m égale 2, une solution unique. Si m différente de 2, apparemment si les différentes 2 sont plus petits que 0 ou plus grands que 10, il n'y a pas de solution. Mais si m égale 0 ou m égale 10, une solution, delta m égale 0, unique solution. m égale 0, ça donne quoi là-haut? On a moins 2x2, moins 4x, moins 2. Ça quand je divise par moins 2, ça fait x2 plus 2x, plus 1 égale 0. Bon ben la solution de ça, s ou m égale 0, c'est juste moins 1. Parce que là je reconnais x plus 1 au carré. Si m égale 10, alors là ça va un petit peu changer, 8x2, moins 24x, 18, égale 0. Je fais un facteur 2, ça fait 2 fois 4x2, moins 12x, plus 9, égale 0. Et je reconnais 2x moins 3, au carré égale 0. Je peux dire s de m égale 10, égale x égale 3 de 8. Enfin, le dernier cas, j'avais m égale 0 ou m égale 10, ça c'était le cas qui était ici. Maintenant j'ai le cas m entre 0 et 10 exactement. Cette fois-ci je n'ai pas delta m égale 0, j'ai delta m positive strict. Je vais pouvoir dire que x1 égale moins b plus racine de delta divisé par 2a, alors moins b ça fera 2 fois m plus 2. Racine de, ben c'est moins 4m, m moins 10. Donc il y a un moins ici, mais c'est pas un problème parce qu'on sait que la quantité, quand m est contre 0 et 10, m moins 10 va être négative. Donc en fait si vous voulez, vous pouvez même écrire 4m fois 10 moins m. C'est plus clair comme ça, vu que m est positif, 4m est positif, 10 moins m est positif également puisque m est plus petit que 10. Aucun problème. Le tout divisé par 2 fois m moins 2. Et x2, c'est exactement la même chose, avec un signe moins. On a donc fini notre discussion. On avait trouvé, pour m égale 2, cas trivial, on n'a pas de x carré, x carré c'est juste une fonction degré 1. Donc on trouvait 1 quart. Pour m plus grand que 10 ou plus petit que 0, pas de solution parce que le delta était complètement négatif. Pour m égale 0, unique solution. Soit moins 1 pour m égale 0, soit 3.5 pour m égale 10. Et enfin, pour m compris entre 0 et 10, on avait delta m positif et on trouvait ces deux solutions-là. J'espère que ça vous a aidé. Posez des questions si nécessaire et je vous dis à la prochaine.

Une équation à paramètre

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