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Polynômes du Second Degré

Cet exercice consiste à trouver X pour minimiser la somme X-a² + X-b² + X-c² + X-d², donnée avec les constantes ABCD (nombres réels quelconques). On peut considérer ABCD comme des constantes et développer la somme pour obtenir un polynôme S du second degré. Comme le a de S est positif, il admet un minimum pour x égal à moins b sur 2a. Ainsi, la valeur de X minimale est a plus b plus c plus d sur 4, qui est une moyenne de ABCD. Il s'agit d'un exercice avancé, mais qui peut être résolu facilement en appliquant les concepts de cours.

Voici un exercice bien problématique, un exercice avancé en niveau, mais qui a beaucoup plus l'air difficile que ce qu'il est vraiment. On va voir comment décrypter tout ça. Il fait peur parce qu'on vous dit dès le début, on vous donne 4 nombres ABCD. Ça fait un peu 4 variables, on ne sait pas trop, donc c'est 4 réels. Voyons ce qu'il en est. Déterminez X de sorte que cette somme X-a² plus X-b² plus X-c² plus X-d² soit minimale. Alors en fait, on veut trouver le X, donc X c'est notre inconnu, telle que cette somme-là soit minimale. En fait, on ne doit pas vraiment chercher ABCD. On donne des nombres réels à ABCD, donc ça veut dire des nombres quelconques, on peut les considérer comme constants. C'est comme si on avait dit, tenez, voici 3, 4, 8 et racine de pi. On a ABCD, ce n'est pas vraiment un problème. Donc en fait, il faut voir au-delà du stress que ça peut engendrer. Je sais que là, quand on voit ça, on se dit, oh là là, qu'est-ce que c'est que ce truc? Mais en fait, ce sont des constantes fournies par l'énoncé qui vous dit, ben, c'est des réels quelconques, eux, ils ne vérifient pas. Par contre, débrouillez-vous pour me dire, une fois qu'on a ces réels-là, quand est-ce que x est minimal? Pour quelle valeur de x est-ce que cette chose est minimale? Donc là, pas de panique. Qu'est-ce que c'est cette somme-là? Cette somme, je vais l'appeler grand S. Grand S égale ça. Cette somme, en fait, c'est une somme de carrés. x moins a au carré, x moins b au carré, ça, c'est des carrés. Donc je peux écrire grand S. Première étape, j'y vais doucement et tranquille. Je développe chacun des carrés avec une densité remarquable bien connue. x carré moins 2ax plus a2, plus, je le mets en colonne pour qu'on voit tous les termes, x carré moins 2bx plus b2, vous avez compris, plus x2 moins 2cx plus c carré, plus x carré moins 2dx plus d carré, égale, je vais mettre tout ça ensemble, ensuite tout ça ensemble, et puis tout ça ensemble. Ça me donne quoi? 4x carré moins 2x fois a plus b plus c plus d, plus a2 plus b2 plus c2 plus d2. Voilà, vous voyez qu'il n'y a plus trop de problèmes, parce qu'en fait, c'est bizarre, mais on me demande quand est-ce que S est minimal? Pour quel x? S, en fait, c'est quoi? C'est un polynôme du second degré qui sourit. En effet, le a du S est positif. C'est un 4x2, donc en fait, S est comme ça. Ce n'est pas un S comme ça. Donc je suis content de vérifier qu'en effet, cette quantité S est un polynôme de ce type-là. Ça veut dire qu'il y a bien un minimum. S est un polynôme de degré 2. Bon, Paul, c'est pour polynôme, degré 2. Il admet un minimum. Donc il y a une valeur minimum en x égale. Et on connaît le cours, c'est moins b sur 2a. Je le fais au bruit, c'est pas ça qu'il faut mettre sur votre copie, faites gaffe, mais c'est moins b sur 2a. Moins b sur 2a, ça veut dire quoi? b, conceptuellement, c'est le truc devant le x. Parfait, égal, moins, devant le x j'ai quoi? Ben, moins 2 fois a plus b plus c plus d. Divisé par 2a, ben c'est le a, c'est le truc qu'il y a devant x², ben c'est 2 fois 4. Magnifique, moins moins ça fait plus, 2 sur 2 ça dégage, il reste a plus b plus c plus d sur 4. Regarde-ci, c'est résolu. La valeur de x pour laquelle tout ce truc-là est minimal, c'est x égale a plus b plus c plus d sur 4, qui est une moyenne de abcd. Un exercice un peu flippant quand on le voit, mais en fait quand vous respirez et que vous allez doucement, ça se résout, vous appliquez juste votre concept de cours, on trouve une solution plutôt élégante.

Minimiser la somme de 4 carrés

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