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Polynômes du Second Degré

Dans ce cours, le professeur explique qu'il y a un nouveau problème à résoudre sur les polynômes de degré 2. L'équation x²-x-9 a deux solutions x' et x''. L'objectif est de trouver les expressions suivantes sans les calculer : la somme du carré des deux solutions et la différence des deux au carré. Le professeur rappelle qu'il faut trouver des relations entre les racines et les coefficients au lieu de les calculer. Il explique que la somme des racines est égale au coefficient devant x avec un signe moins (-b/a) et le produit des racines est égal au terme constant (-c/a). Il suggère d'utiliser les identités remarquables pour résoudre le problème. En utilisant l'identité remarquable (a+b)² = a² + b² + 2ab, il développe l'expression (x' + x'')² et obtient x'² + x''² + 2x'x'' = 1. En utilisant le terme constant du polynôme (-c/a) = (-9/1) = -9, il trouve que x'² + x''² = 19. Ensuite, il développe l'expression (x' - x'')² et obtient x'² + x''² - 2x'x'' = 37. Il conclut en soulignant l'importance de trouver les bonnes relations et l'utilisation des identités remarquables pour résoudre le problème sans calculer les racines.

Voici un nouveau problème qui va encore pousser plus loin votre connaissance et votre maîtrise des différentes notions sur les polynomes de degré 2. Celui-ci vous dit, l'équation x²-x-9 admet deux solutions, x' et x''. Sans les calculer, là c'est capital, c'est tout le principe de l'exo, sans les calculer, déterminez les expressions suivantes. La somme du carré des deux solutions et la différence des deux au carré. Là en fait tout de suite, il faut vraiment que ce soit bien connecté dans votre tête, tout de suite ce qu'il faut faire, enfin ce à quoi on s'attend de votre part, c'est ne pas les calculer, c'est-à-dire trouver des relations entre les racines et les coefficients. Donc ça c'est une seule chose dans votre cours, qu'on a déjà vu dans des vidéos de méthodes un peu plus basiques, c'est le fait qu'on a, avec ce polynôme là, la somme des racines, x'+, x'', qui vaut le coefficient devant le x avec un signe moins. C'est-à-dire que ici le coefficient c'est moins 1, on met un signe moins, ça vaut 1. C'est l'idée que la somme des deux racines vaut moins b sur a. Ici b vaut moins 1 et a vaut 1, ça fait donc 1. On a également x' fois x'' égale moins 9. Et c'est exactement le genre de choses qu'il faut qu'ils attendent, parce qu'on vous dit sans les calculer, c'est-à-dire qu'il faut trouver des relations. Et là c'est intéressant parce qu'on a des relations, deux relations de cours assez classiques entre les racines, il va falloir trouver comment est-ce qu'on peut s'approcher de ces relations-là. Et ça va être un jeu non pas sur les deltas et les polynômes, mais plus un jeu sur les identités remarquables au final, comme bien souvent en maths, même quand on est sorti de troisième. Donc ici, il faut essayer de voir comment on pourrait traiter intelligemment ces relations. Moi quand je vois ici du x'² et du x'², j'ai envie de me dire qu'il y a une identité remarquable derrière, donc j'ai envie d'utiliser, je vais appeler ça petit 1, petit 2. Donc petit 1, j'ai envie de la mettre au carré. Je peux transformer ça au carré égale 1². Ce qui me donne x'², je vais essayer d'écrire mieux, x'² plus x''² plus 2x'x'' égale 1. Parce que 1² c'est 1. Ça c'est parfait, parce qu'attendez, ça et ça, c'est exactement ce que je cherche. Ça c'est mon inconnu, c'est ce que je veux trouver. Magnifique. Il me reste quoi ? Il me reste ce terme-là qui est problématique, mais en fait celui-là je le connais. Je le connais à cause du produit, qui vaut moins 9. Et donc première question résolue. Ça peut aller très vite dès qu'on a la bonne idée. La bonne idée ici c'était de se dire, pour faire apparaître x'² et x'², je vais prendre ce machin-là et le mettre au carré. Donc égal 1 moins 2 fois moins 9, donc plus 18 égale 19. C'est comme ça que vous trouvez la première relation. Deuxième relation, on vous dit x' moins x'' au carré. Bon, c'est ce dont on veut. x' moins x'' au carré. Très bien, ça maintenant, nouvelle question. On va le développer. Ça fait x'² plus x''² moins 2 fois x' x''. Super, parce que x'² plus x' x' on vient de le calculer. C'est ici justement. C'est parfait, ça fait 19. Moins 2 fois x' x''. Ça aussi on connaît. On sait que x' x'' c'est moins 9. Donc moins 2 fois moins 9 plus 18. On l'a déjà utilisé, on le réutilise. Égal 37. Tout bête. Ça se fait en n'utilisant que les identités remarquables. Donc vraiment l'idée qu'il faut avoir, c'est de se dire pour faire apparaître des carrés comme il me demande ici, je prends cette relation-là que je vois à partir de cette équation. Ce qui me met sur la puce à l'oreille, c'est le fait qu'il ne faut pas calculer les racines, mais donc utiliser ces espèces de relations un peu indirectes. Et ensuite ça coule tout seul. On peut trouver les deux relations comme demandé. J'espère que c'était inspirant. Posez des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Relations coéfficients racines

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