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Polynômes du Second Degré

Ce cours porte sur l'intersection entre une parabole et des droites verticales ou horizontales. En déplaçant la valeur de la droite verticale, on observe que les points d'intersection varient. De même, lorsqu'une droite horizontale croise la parabole, il peut y avoir un point de tangence ou deux points d'intersection. Pour déterminer le nombre de points d'intersection entre les droites x=k et la parabole 4x²-8x+7, on résout l'équation en remplaçant y par 4k²-8k+7. On trouve ainsi un unique point d'intersection (k, 4k²-8k+7). Si la droite horizontale est de la forme y=k, on distingue les cas selon les valeurs de k. Si k<3, il n'y a pas d'intersection. Si k=3, il y a un point de tangence. Si k>3, il y a deux points d'intersection, dont les coordonnées peuvent être calculées en utilisant le discriminant. En résumé, il faut faire attention au signe du discriminant pour déterminer le nombre de points d'intersection.

Bienvenue pour cette fois-ci encore à un grand classique, un problème pas simple qui consiste à chercher l'intersection entre une parabole, qui est une fonction polynome du second degré, et certaines droites. Donc on va étudier d'abord ici l'intersection entre une parabole et des droites verticales, sous la forme x égale k, puis l'intersection entre une parabole et des droites horizontales, qui s'écrivent y égale k. Visuellement ça va donner ce que je vous montre maintenant. Par exemple ici, quand on voit la droite verticale verte, si je déplace la valeur de k, donc j'ai mis k égale 1, quand je vois que x varie pour certaines valeurs, entre moins 1, 1, 2, etc., je vois que les points d'intersection changent et évoluent au cours du temps. En gros le point d'intersection se déplace avec la courbe. Ce sera la même chose pour un croisement entre la courbe et une droite, cette fois-ci horizontale. J'aurai tout un secteur où il n'y a aucun croisement parce qu'on est en dessous de la courbe, puis quand j'arrive ici j'ai d'abord un point de tangence, et ensuite quand je monte, deux points d'intersection. Voilà, c'est ça qu'on va étudier en calcul. C'est parti, on vous dit déterminer le nombre de points d'intersection entre les droites x égale k et la parabole 4x2 moins 8x plus 7. On va écrire un petit système d'équations si vous voulez. On cherche les points qui sont à la fois là dessus et à la fois vérifier x égale k. Donc ça c'est simple, il suffit que je remplace. Quand je dis que x égale k, je dis que y est égale à 4k2 moins 8k plus 7. C'est facile, voilà il y a un point d'intersection unique et je crois qu'il existe, il est unique, x égale k et pour le coup y est égale à 4k2 moins 8k plus 7. C'est assez simple parce qu'en fait c'est une fonction, donc quand je fixe une certaine abscisse, j'ai une unique coordonnée, c'est la définition d'une fonction. Pour un antécédent, il y a une seule image. Donc voilà les coordonnées de mon point d'intersection, donc point unique. Je pourrais écrire k, 4k2 moins 8k plus 7. Donc ça c'était le cas où je faisais croiser la parabole avec une droite verticale. Si on la fait croiser avec une droite horizontale, on a vu qu'il y aura plusieurs cas qui vont se dégager. Des cas où ça ne croise jamais parce qu'on est trop bas, des cas où ça touche et des cas où ça croise deux fois. Donc cette fois-ci on va devoir distinguer les cas selon les valeurs de k justement. Ça va donner 4x2 moins 8x plus 7 et on veut que ça soit égal à k. Bah ça c'est si et seulement si, enfin c'est plutôt étudiant. L'équation suivante 4x2 moins 8x plus 7 égale k donc je vais être moins k égale à 0. On va trouver des points d'intersection, des solutions à cette équation uniquement si le delta va être positif. Donc on va calculer le delta, moins 8 au carré moins 4 fois 4 fois 7 moins k égale. Alors moins 8 au carré c'est 64, 64 moins 16 donc il y a des choses à mettre en facteur ici. 64 c'est 16 fois 4 moins 16 fois 7 moins 4 donc j'accélère un peu avec une petite factorisation bien choisie. Et là j'ai 4 moins 7 plus k égale 16 fois k moins 3. Donc on peut dire tout simplement si k est plus petit strict que 3, delta est négative et pas d'intersection. C'est ça que ça veut dire. Il n'y a donc aucun point, c'est-à-dire pas de solution à l'équation, donc aucun point d'intersection entre y égale k et la parabole. Si k égale 3, delta égale 0, unique, point. Ce point d'intersection on va l'appeler un point de tangence. C'est quand la droite vient tout justement toucher, effleurer la courbe, être tangente à cette courbe. Et enfin si je conclue, si k est plus grand strict que 3, c'est très mal écrit, si k est plus grand strict que 3, alors dans ce cas on a delta positif et deux points d'intersection. C'est ça la discussion qu'il faut faire selon k. Vous avez ces trois sous k justement. k plus x strict que 3, k égale 3, k plus grand strict que 3. Si on veut les coordonnées des points, on est obligé de dire dans ce cas x1 égale, alors moins b donc c'est 8, moins racine de 16 fois k moins 3, donc c'est racine de 16 fois k moins 3, vu que k est strictement positif il n'y a pas de problème, divisé par 2 fois 4, donc 8, x2 égale 8 plus racine de 16 fois k moins 3, le tout sur 8. Donc ça c'est un peu simplifié, je peux sortir un 4 ici, ça fait 8, je divise par 4 en haut et en bas, ça me fait 2 moins racine de k moins 3, le tout sur 2, et là c'est 2 plus racine de k moins 3 sur 2. Alors quand delta égale à 0, c'est quand k va à l'étroit, et quand k va à l'étroit, je n'ai pas étudié les coordonnées, je vais le faire ici. Dans ce cas on avait la fonction qui était égale à 4x2 moins 8x plus 7 moins 3 plus 4 égale 4 fois x2 moins 2x plus 1 égale 4 fois x moins 1 au carré. Le point était z6, 1. Voilà le point de tangence, et là on a donc deux points de tangence avec leur z6. C'était un peu plus long que d'habitude, mais ça se fait. Donc vous avez vu visuellement ce que ça veut dire, x égale k intersection unique, y égale k un exercice un peu plus complexe parce qu'il y a une discussion à faire avec trois tiers différents, donc il faut juste réfléchir comme d'habitude au signe du discriminant. Voilà j'espère que c'était clair, je vous dis à la prochaine !

Rencontre entre parabole et droite

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