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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

Voici un résumé du cours :La dérivation permet de savoir si une fonction est en train de croître ou de décroître en se rapportant à des droites, appelées tangentes, plus faciles à étudier. Pour trouver la valeur de la pente de la tangente, on utilise la méthode de la corde AB, en prenant la limite du taux d'accroissement de la fonction F au point A, quand la distance H devient nulle. Cette limite est appelée nombre dérivé, noté f' de A, qui représente la pente de la tangente au point A. Le nombre dérivé est la manière courte de désigner la pente de la tangente.

Avant de corriger une autre méthode très classique de calcul de nombre dérivé, je veux rappeler un petit peu ce que c'est qu'un nombre dérivé. Rappelez-vous que le but de la dérivation c'est de savoir quand est-ce que les fonctions sont en train d'être croissantes ou en train d'être décroissantes. Et le but, vu que les fonctions sont des choses qui des fois sont assez courbes, c'est de se rapporter à des droites, parce que les droites c'est plus facile à étudier. Les droites auxquelles on va se rapporter, ce qu'on va appeler des tangentes, sont les tangentes à la courbe. Donc ce qu'on a envie de faire, c'est une idée qui date de Newton en gros, c'est d'étudier les tangentes à certaines courbes. Donc si je prends pour une courbe F ici, en vert, j'ai cette fonction F, je prends un point A et mon but ici c'est de chercher la valeur de la pente de la tangente au point A à la courbe. Cette tangente, je l'ai appelée TA, elle est ici en rouge. Comment faire pour trouver la valeur de cette tangente? La valeur de la pente de cette tangente? Ce qu'on sait faire, c'est calculer la valeur de la pente d'une droite. Ça c'est depuis la troisième. Vous prenez le point A et ce qu'on fait, c'est qu'on prend un point B un peu plus loin sur la courbe de F. Ce point B, on va lui donner une abscisse X plus loin que A en gros. Et on peut écrire X qui est égal à A plus H. Donc c'est A plus une petite distance H qui sépare B de A. Les ordonnées sont comme ci, F de A et F de X ou égal F de A plus H, selon l'expression que vous utilisez. L'idée qu'on va avoir, c'est que si vous prenez cette corde, on va appeler une corde la droite qui passe entre deux points d'une même courbe. Si vous prenez cette corde et que vous faites rapprocher le point B du point A, c'est à dire que la distance H ici va diminuer et donc ce point B va se rapprocher comme ceci, on se rend compte que la corde, elle, va commencer à s'approcher de plus en plus. Pour des points B potentiellement de plus en plus proche de A, la corde va finir par devenir la tangente TA. C'est ça qu'on dit quand on vous dit qu'on va prendre la limite du taux d'accroissement. Ce qu'on appelle le taux d'accroissement, ça va être la pente de la corde AB. Ça c'est quelque chose qu'on connaît très bien, donc la pente de la corde AB va devenir, quand le petit H, la petite distance séparant les deux points, devient nul, c'est à dire qu'on approche le point B de plus en plus du point A, on comprend que cette pente de corde va devenir la pente de la tangente. Donc on part de ce qu'on connaît, c'est une pente de droite normale avec deux points donnés, et on va prendre la limite. C'est pour ça qu'on a l'expression ici, pente de la corde AB, j'appelle ça tau, la lettre grecque, comme taux d'accroissement, ça c'est mon écriture à moi, pas besoin de se braquer là-dessus en soi, vous pouvez suivre ce que fait votre prof, là il n'y a aucun problème. Le taux d'accroissement de la fonction f au point A, c'est la pente de cette corde donc, cette droite AB, c'est f de x moins f de A sur x moins A. Vous pouvez aussi décider, c'est au choix, les deux sont valides, de l'écrire avec x qui s'écrit comme a plus h, c'est à dire a plus une petite distance h qui sépare les deux abscisses des points. Dans ce cas vous obtenez f de a plus h moins f de A divisé par a plus h moins A qui fait h. Et ce qu'on dit c'est que la limite de ce taux d'accroissement, quand h devient 0, quand la distance devient nulle, c'est la limite, on l'appelle f' de A, et c'est la manière qu'on a d'appeler la pente de TA, la tangente, ce qu'on cherche. Et donc voilà ce qu'est, en résumé, en quelques minutes, le nombre dérivé. On appelle pente de la tangente le nombre dérivé. Enfin, on appelle nombre dérivé plutôt la pente de la tangente. On donne un petit nom mathématique et on donne une écriture mathématique qui est f' de A. C'est parce que c'est beaucoup plus court d'écrire f' de A qu'adapter à chaque fois ce nombre pente de la tangente au point A. Voilà, c'était mon petit rappel, et je vais ensuite enchaîner avec un calcul de nombre dérivé pour une fonction précis.

Dérivation : rappel de concept

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