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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

Dans ce cours, nous montrons qu'une fonction est dérivable en un point en appliquant la définition fondamentale qui stipule qu'une fonction est dérivable en un point si son taux d'accroissement admet une limite finie unique. Nous prenons pour la fonction h l'expression du taux d'accroissement au point 2 et simplifions l'expression pour obtenir une unique fraction au final. Ensuite, nous prenons la limite de cette expression simplifiée lorsque x tend vers 2 pour trouver une limite finie unique de la fonction h en ce point. Nous concluons que la fonction h est dérivable en 2 et que la limite du taux d'accroissement est égale à –7. Nous conseillons de simplifier l'expression du taux d'accroissement avant de prendre la limite afin de limiter les erreurs éventuelles.

Pour cette première méthode, on va montrer qu'une fonction est dérivable en un point. Pour ceci, il faut appliquer la définition fondamentale qui est une fonction est dérivable en un point donné, ici un point d'abscisse 2, elle sera dérivable en ce point si son taux d'accroissement admet une limite finie unique. Donc qu'est-ce qu'on fait? On prend pour la fonction h l'expression du taux d'accroissement au point 2, donc c'est le taux ici, h2x-h22 sur x-2, et on regarde ce que ça vaut. Donc ça fait (-7 ÷ 3-x), pour h2x, (-7 ÷ 3-2), 3-2 ça fait 1, donc ça va simplifier assez vite, le tout divisé par x-2, donc deux choses ici, d'abord je vais mettre le –7 devant, je vais pouvoir le factoriser, puis ensuite comme j'ai des fractions au numérateur, je vais les mettre au même dénominateur pour avoir une unique fraction au final. Première étape, je mets –7 en facteur, donc il reste 1 sur 3-x, quand je relève le –7 ici, il reste –7 sur 1, donc il reste 1. Le tout sur x-2. Je vais gérer ce qu'il y a ici en mettant tout au même dénominateur, ça fait –7, d'ailleurs je vais clarifier un peu l'expression en mettant le x-2 ici, –7 sur x-2, fois 1 sur 3-x, 1 c'est 3-x sur 3-x, et donc ça me fait –7 sur x-2, fois 1-3-x, 1-3-2, –x plus x, fois x-2 sur 3-x. Là j'ai de la chance, je me rends compte que les choses sont bien faites de toute façon, parce que si la fonction est dérivable, en général l'expression va s'arranger, ici je vois que x-2 et x-2 vont pouvoir se simplifier, j'obtiens une expression simplifiée du taux d'accroissement de la fonction h autour du point 2, qui est –7 sur 3-x. Maintenant si on me demande limite de ce taux d'accroissement, h2x-h22 sur x-2, quand x tend vers 2, c'est égal à la limite, quand x tend vers 2 de l'expression simplifiée qu'on vient de trouver, qui est –7 sur 3-x. Dans ce cas, c'est très simple, il suffit de remplacer x par 2, et je trouve –7, très facilement. Donc qu'est-ce que je peux dire par définition? J'ai montré que le taux d'accroissement de la fonction h admettait une limite finie qui était unique, quand x s'approchait de 2, donc h dérivable en 2, en x égale 2, et on a h' de 2 égale la limite du taux d'accroissement, qui est égal à –7. Voilà comment il faut conduire ce genre de calcul, c'est toujours un peu la même chose, et il faut bien le faire étape par étape. Je vous conseille de le faire en deux temps, c'est-à-dire de simplifier d'abord l'expression du taux d'accroissement, puis de prendre la limite. Tout simplement parce que si vous commencez à mettre la limite ici, vous allez recopier limite beaucoup de fois, ça fait beaucoup de choses à recopier, et ça fait une occasion de plus d'oublier de recopier quelque chose, donc autant simplifier l'expression, puis prendre la limite en dernier, pour limiter les potentielles erreurs, les potentiels oublis. Sur ce, je vous dis à la prochaine, posez-moi des questions si vous en avez dans les commentaires, et je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

Calcul de nombre dérivé

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