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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

Dans cet exercice de mathématiques, nous apprenons comment calculer la limite d'un taux d'accroissement pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point. Pour cela, nous utilisons la méthode de quantité conjuguée qui est une transformation classique lorsque nous avons une expression de racine. Nous examinons également le problème de la division de 0 par 0, où il n'y a pas de règle spécifique à suivre. Nous cherchons ensuite une identité remarquable qui nous permet de simplifier le problème et de trouver la limite du taux d'accroissement. Cette méthode de quantité conjuguée est importante et peut être utilisée dans de nombreux autres exercices. À la fin, nous trouvons que la limite est égale à un sixième.

Dans cet exercice, on va voir une autre méthode pour calculer la limite d'un taux d'accroissement. Pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point, on se retrouve avec une expression de taux d'accroissement qui n'est pas évidente, et à partir de laquelle il n'est pas évident de calculer la limite. Il faut faire une certaine transformation, une transformation très classique. C'est une transformation qui intervient souvent dès qu'on a une expression racine. C'est la transformation appelée quantité conjuguée, on va voir ça ensemble. Si on calcule d'abord le taux de variation, le taux d'accroissement de f entre 9 et 9 plus h, pour montrer qu'il vaut quelque chose. Voyons ce qu'il vaut. f de 9 plus h moins f de 9 sur 9 plus h moins 9, voilà mon taux d'accroissement. Le taux d'accroissement, comme je l'ai dit dans un petit rappel précédent, on peut l'écrire soit de cette manière là, avec f de x moins f de a, soit utiliser le fait que x est a plus une petite distance h, c'est un point un peu plus loin qu'a. On peut l'écrire comme ça, c'est ce qu'on fait dans cet exercice. On l'écrit, on remplace par l'expression f de 9 plus h, c'est donc racine de 9 plus h moins 3, moins f de 9 qui est racine de 9 moins 3. Tout de suite, je remarque que racine de 9 moins 3, ça va faire 0. J'ai un petit coin de ma tête qui me dit, attention ça va se simplifier, très bien. Je divise le tout par h. Donc ça, ça me fait, en simplifiant, racine de 9 plus h moins 3. Le tout sur h. Alors, pourquoi est-ce qu'on ne s'arrête pas là? Parce que là, l'étape d'après, ça serait montrer que c'est dérivable, ça veut dire montrer que ce taux d'accroissement admet une limite quand h tombe vers 0. Regardons, quand h tombe vers 0, qu'est-ce qu'il se passe ici? J'obtiens racine de 9 plus 0, donc ça fait 3, moins 3, sur 0. Donc j'obtiens quelque chose qui est 0 sur 0. Le grand problème de 0 sur 0, c'est qu'en fait, ce n'est pas quelque chose qui est tout le temps égal à la même chose. C'est qu'on peut avoir une quantité qui tombe vers 0 en haut d'une fraction, et une quantité en bas d'une fraction qui tombe vers 0, mais pour autant, plusieurs cas différents. Tout bêtement, si je vous explique en deux secondes, si j'ai h divisé par h², h au numérateur et h² au dénominateur, chacun d'entre eux va tomber vers 0. Très bien, comme ça, ça tombe vers 0, ça tombe vers 0. C'est un cas où les deux parties de la fraction tombent vers 0, pourtant je peux la simplifier. Si je la simplifie, je divise par h en haut et en bas, je me retrouve avec ça. Et je pourrais dire que la limite de la fraction, c'est quoi? C'est la limite quand 1 sur h, quand h tombe vers 0. Quand h devient tout tout tout petit, 1 sur h, c'est 1 divisé par 0,00021, devient super grand. C'est comme si j'avais 1 sur 10 puissance moins 8. Ça, ça devient 10 puissance 8, si vous voulez. Ça devient un nombre très grand. Ça, ça tombe vers plus l'infini, un nombre de plus en plus grand, quand h tombe vers 0. Voilà un cas de ce qui se passe quand à la fois le dénominateur et le numérateur tombent vers 0. Pour autant, je pourrais très bien avoir un autre cas, je vous le fais tout de suite, qui est h² sur h. Là, j'ai aussi du 0 en haut et du 0 en bas, si vous voulez, mais pourtant, quand je simplifie l'expression, j'obtiens h, et h, quand h tombe vers 0 par définition, ça devient 0. Mon point ici, c'est que vous avez deux quantités, très simple, j'espère que la tête, deux types de fractions qui sont du type 0 sur 0, si vous voulez, avec quelque chose qui va vers 0 et quelque chose qui va vers 0 à chaque fois. Dans un cas, ça devient immense, dans l'autre, ça devient 0. Donc ça veut dire qu'a priori, je ne sais pas, je ne peux pas établir une règle. Quand j'obtiens 0 sur 0, il n'y a pas de règle possible spécialement. Il faut étudier plus en détail, il faut simplifier l'expression pour se rendre compte si ça va être un cas où ça tombe vers plus infini, ou ça tombe vers 0, ou peut-être même vers 1, 2 ou 3 par exemple. À chaque fois, comme il n'est pas possible d'avoir une règle, tout simplement parce que là, je vous ai montré l'existence de deux cas différents, il va falloir transformer un peu l'expression et voir si on ne peut pas avancer en transformant tout ça. Ici, la méthode, c'est d'aller chercher une identité remarquable, je vous rappelle l'identité remarquable, a-b x a plus b, égale à 2-b2. On va chercher une identité remarquable qui va nous permettre de simplifier ce problème et de résoudre tout notre problème. Si j'écris cette identité remarquable avec deux racines, racine de a moins racine de b, fois racine de a plus racine de b, qu'est-ce que ça me donne? Racine de a² qui fait a, moins racine de b² qui fait b. Ça c'est très bien, c'est ce que je vais appliquer ici. Je me rends compte que ça, ça va jouer mon rôle de a, si vous voulez, et ça mon rôle de b. Je vais faire apparaître une identité remarquable. Je vais juste séparer cette remarque ici. Je vais faire apparaître une identité remarquable en multipliant en haut par le complémentaire, on appelle ça le conjugué, de ce qu'il y avait déjà écrit, c'est-à-dire la même chose avec un plus. Sauf que je n'ai pas le droit de rajouter des choses comme ça, sans sortir du chapeau. Qu'est-ce qu'il faut que je fasse? Que je multiplie également en bas par cette quantité que j'ai rajoutée. Comme ça, si je devais venir à simplifier la fraction, je dirais que c'est bon, c'est de là qu'il se simplifie, donc je retourne bien là-dessus. Je fais exprès de faire apparaître ces choses en haut et en bas, ça a l'air de compliquer les choses, mais en fait je le fais exprès pour pouvoir simplifier les écritures. En effet, ça c'est donc a-b x a plus b, ça va me donner en haut, en utilisant l'identité remarquable qui est sur la gauche là-bas, ça va me donner racine de 9 plus h au carré, 9 plus h, moins 3 au carré, 9. Le tout divisé par quoi? Par h racine de 9 plus h plus 3. Vous allez me dire, t'es gentil, mais on passe d'un racine de 9 plus h moins 3 à un racine de 9 plus h plus 3, est-ce que ça c'est plus simple? En fait, oui. Racine de 9 plus h moins 3 devenait racine de 9 moins 3 devenait 0. Ça, avec un plus, ça ne va pas devenir 0, ça ne me causera pas de problème. Qu'est-ce que je remarque en haut? Les 9 se simplifient, et donc les h se simplifient. Ainsi, ça me donne une expression qui vaut 1 sur racine de 9 plus h plus 3. Cette expression, si c'est la qu'on me demande, va me permettre de trouver une limite au taux d'accroissement. C'est la question 2, je vais pouvoir dire que f' de 9 est égale à la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0. Et c'est la limite de 1 sur racine de 9 plus h plus 3. Voilà la question 2. Je vais pouvoir faire ça comme ça, et écrire, quand h tend vers 0, qu'est-ce qu'il se passe ici? Quand h tend vers 0, racine de 9 plus h tend vers racine de 9, ce qui fait 3. Et j'obtiens 1 sur 3 plus 3, 1 sur 6, mon nombre dérivé, et donc f' de 9 égale 1 sixième. C'était un petit peu long parce que j'ai voulu expliquer un peu tout le détail de pourquoi est-ce qu'on fait ce genre de réécriture. C'est assez important, retenez-le. Retenez la méthode de quantité conjuguée parce qu'elle tombe dans beaucoup d'exercices. Je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Nombre dérivé : la quantité conjuguée

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