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Exponentielle

Ce cours traite de la méthode pour calculer la dérivée d'une fonction exponentielle. La formule clé est E de u de x fois u prime de x, où u est dérivable. Si u est dérivable, cette formule est toujours vraie. Ensuite, il s'agit de pratiquer en faisant des exercices pour maîtriser la méthode. Pour les inégalités, il faut utiliser la méthode vue précédemment. Enfin, la méthode de dérivation est assez simple et nécessite juste de la pratique. La vidéo présente quelques exemples pour s'entraîner.

méthode de base vraiment fondamentale, calculer proprement une dérivée. Alors la formule la plus importante à connaître ici c'est E de u de x toute fonction u prime, pour peu que u soit arrivable, ça c'est important, égale u prime de x fois E de u de x. Donc en fait c'est un peu comme l'exponentiale elle-même, c'est à dire que l'exponential quand on la dérive ça fait elle-même, donc là c'est un peu ça, on retrouve le même terme, mais dès qu'il y a une petite complication au niveau de u de x, on doit retrouver devant fois u prime de x, la dérivée du terme dans l'exponential. Voilà, ça c'est pour u dérivable. Si u dérivable, ça c'est toujours vrai. Donc si vous connaissez ça, vous allez pouvoir faire l'exo sans trop de problèmes. Ensuite c'est juste encore une fois une question de pratique, vous pratiquez, vous en faites 10, 15, 20, en comprenant ce que vous faites bien sûr, et vous êtes au taquet, ça marche sans problème. Donc on va en faire quelques-unes ensemble. Petit a, f prime de x égale le 2, le moins 2 d'ailleurs, je ne touche pas, je laisse devant, là je vais l'écrire comme ça, mais l'idée c'est la constante tout de suite, elle est là pour me créer des problèmes, m'embrouiller parce qu'il y a un moins, et peut-être me faire paniquer parce que je n'aime pas les 6 de moins. Je sais que je peux la mettre devant, je la dégage. Et donc ça donne quoi? E de moins 3x prime, et je gère ça comme ça, donc le moins 2 ne me parasite pas, il reste devant. Maintenant je regarde ça. On a dit, il faut que je mette la dérivée du truc qu'il y a dans l'exponentiel, fois l'exponentiel même. Déjà le côté facile c'est E de moins 3x. Je sais que j'ai le droit de la répéter, donc c'est parti. C'est pas ça que je voulais faire. E de moins 3x, c'est E de U de x, que je mets ici, et vous avez ensuite U prime de x qui est ici. U prime de x c'est quoi? C'est la dérivée de ce truc là. La dérivée de moins 3x, c'est moins 3. Ça je vais le mettre en orange. Vous avez votre reconnaissance des termes, et ensuite maintenant vous pouvez combiner avec le moins 2 qui était une source potentielle d'embrouille, et dire que ça fait moins 2 fois moins 3, 6 fois E de moins 3x. Voilà, étape par étape, sans se faire perturber, ça roule tout seul. Petit b, on va aller un peu plus vite. Petit b, g prime de x égale, on a dit que g de x c'était x moins E de x. Bon ben x, sa dérivée c'est 1, moins la dérivée de E de x. Voilà, ça c'est réglé. Utilisez le sens d'avaricion des fonctions. Ah oui, je ne l'ai pas fait. Zut. Je suis resté juste un calcul de dérivée. Très bien. Ça je reconnais que c'est positif strict, vu que c'est une exponentielle. Donc f croissante sur R. Très bien. Là ici il y a un peu plus de travail, je vais dire g prime de x, première étape, g prime de x, deuxième étape, quand est-ce qu'elle est positive? Si et seulement si, et là, c'est là que vous avez besoin de la méthode sur les inéquations qu'on a vu précédemment. 1 super égale à E de x. Si et seulement si, x est inférieur égal à 0. Vous pouvez dire g croissante sur moins l'infini 0, g sera donc décroissante sur 0 plus l'infini. Vu que, si on a vu que g prime était positive pour les x négatifs, je comprends donc que g prime est négative pour les x positifs, et donc tout ça. Vous pouvez faire un tableau de relations, sinon vous aurez un truc comme ça. Et que 0, c'est mal fait, vous aurez un truc comme ça. La fonction qui y croit au début et qui y décroît après. Je vais écrire rapidement. g de x c'est quoi? H de x pardon. H de x c'est E de 2x plus 4 moins 2x. Autre truc qu'on peut faire pour ne pas s'embêter, H de x égale E de 2x plus 4, on a dit moins 2x si je ne me trompe pas. On peut écrire ça E de 4 fois E de 2x. Ça là c'est une constante en soi donc elle peut se mettre devant. Je ne sais pas si c'est le plus utile mais ça peut être pratique de la mettre devant. Vous avez donc H prime de x égale E de 4 fois E de 2x. Je sais qu'il va y avoir un E de 2x. Donc ça c'est ce qui est en jaune là-haut. Et ensuite il y aura la dérivée de E de 2x qu'on n'oublie pas. De 2x, sa dérivée c'est 2. Très bien. Moins la dérivée de 2x c'est 2 aussi. Parfait, ça fait donc, je vais mettre 2 en facteur, en l'occurrence 2 facteurs de E de 2x plus 4. Je les recombine, c'est de là, moins 1. Et on peut dire H prime de x, positif ou nul, si et seulement si, le 2 il ne compte pas. E de 2x plus 4 supérieur ou égal à 1. Si et seulement si, peut-être une équation, 2x plus 4 supérieur ou égal à 0. Parce que 1 c'est E de 0. Et donc si et seulement si, x supérieur à moins 2. Voilà comment on gère ça. La petite idée je vous la laisse. Ça va aller pour votre amusement. Voilà l'idée générale. Vous ne vous plantez pas là-dessus. Ensuite, quand c'est positif strict? Bon ça c'est simple. Vous regardez ensuite, c'est vraiment la méthode type de dérivation que vous avez vue et revue je pense. Si vous n'avez pas vu et revu, allez revoir le chat-lite pour vous entraîner bien sûr. Mais il n'y a pas vraiment de grand piège, c'est que de la pratique. J'en ai fait quelques-uns ici, histoire d'avoir fait une vidéo assez simple et pratique sur la dérivation des exponentiels. Revoyez, refaites, pratiquez. Et je vous retrouve ensuite pour des exercices un peu plus durs et des méthodes encore plus compliquées plus tard. Bye bye.

Dériver des fonctions exp

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