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Exponentielle

Ce cours porte sur l'étude de fonctions exponentielles avec un paramètre. Nous avons une famille de fonctions fk de la forme e^(kx) - kx. Nous devons déterminer l'expression de la dérivée de fk, ce qui est assez simple puisque la dérivée de e^(kx) est k * e^(kx) - kx. Ensuite, nous devons trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, ce qui est facile car fk'(0) = 0. L'équation de la tangente est donc y = 1. Enfin, nous devons déterminer pour quelle valeur de k la courbe fk admet une autre tangente horizontale. Nous trouvons que cela se produit lorsque k = 0 et lorsque e^(kx) = 1, c'est-à-dire lorsque x = 0. Cependant, cela correspond simplement à une fonction constante égale à 1, donc ce n'est pas très intéressant. En résumé, ce cours consiste à étudier une famille de fonctions exponentielles avec un paramètre et à déterminer les propriétés de ces fonctions, notamment leurs dérivées et les tangentes à leurs courbes.

Un exercice assez classique avec l'exponentiel, en gros une étude de fonction, avec peut-être un petit paramètre. On a vu ça déjà pour certaines études de fonction dans les chapitres précédents sur la dérivation, etc. Là on vous dit, petite paramètre, donc on étudie en fait une famille de fonctions. C'est assez classique, encore une fois, c'est pas trop dur, faut pas paniquer. On vous dit il y a fk, fk c'est e de kx, qu'on sait dériver, on va regarder ça, c'est e de kx moins k fois x. On note ck à la courbe, pas de problème. Détermine une expression de la dérivée de fk. Premier truc à dire, fk est dérivable. Pourquoi ? C'est une exponentielle puis un polynome du degré 1, les deux sont dérivables, la somme de deux fonctions dérivables étant dérivables, on est bon. Donc elle est dérivable sur R, quelque soit x appartenant à R. On a, comme e de toute fonction égale dérivée de cette fonction fois l'exponentielle elle-même, e de u prime donne u prime fois e de u, par cœur, ça vous maîtrisez, on s'en sort en disant e de kx, quand je la dérive, fait e de kx elle-même fois la dérivée de kx qui vaut k. k fois x, k étant une constante ici, ça fait k. Donc on a k fois e de kx moins dérivée de k fois x, donc k encore une fois c'est une constante, c'est comme si on avait marqué 7 si vous voulez, c'est k. Je peux factoriser par k et ça donne k fois e de kx moins 1. Simple. Mon truc pour tout réel cas, la tangente à la courbe. Attention, mot clé, tangente. On va écrire sûrement l'équation de la tangente. La tangente à la courbe au point d'axis 0, donc en 0, est horizontale. On va donner une équation de la tangente. Horizontale ça veut dire qu'on s'attend à une pente 0. Qu'est-ce qu'on fait ? On calcule fk prime de 0. Donc t de 0, la tangente, son équation c'est ça, mais fk prime de 0, donc il manque un petit indice k ici, fk prime de 0 c'est quoi ? C'est égal à 0. En fait c'est démontré, fk prime de 0 c'est égal à 0, donc elle est horizontale, il n'y a pas de problème. Quelle est son équation totale ? Tout ça, ça vaut 0, il reste fk de 0. Je mets 0 là-dedans et je vois que ça fait e de 0 moins 0, ça fait 1. Donc j'ai y égale 1. Elle est bien horizontale, elle est une équation très très simple. Dernière question, pas très intéressante, je me suis même demandé s'il n'y avait pas une erreur d'énoncé parce que ce n'est pas vraiment fascinant comme truc, mais on va regarder. Déterminer pour quelle valeur potentielle de k la tangente à la courbe ck admet une autre tangente horizontale ? Quoi ? Non, ce n'est pas la tangente à la courbe ck, c'est pour quelle valeur de k la courbe ck admet une autre tangente horizontale ? Vous regardez et vous vous dites, moi je veux f' de x égale 0. Quand est-ce que ça peut arriver ? Je prends f' k de x égale 0, si et seulement si ce machin-là vaut 0. Ce machin-là étant ce qu'on a calculé juste au-dessus ici. Quand est-ce que ça, ça vaut 0 ? Soit quand e de kx vaut 1, ça on l'a déjà vu, c'est quand x vaut 0. C'est le truc qu'on a déjà déterminé au-dessus. Y a-t-il autre part qu'il est possible d'avoir 0 ? Est-ce que ça, ça peut être différent de 0 ? Est-ce que je peux trouver ça ailleurs ? Ouais, c'est k égale 0. Si ce terme-là du produit vaut 0, alors j'ai une autre tangente horizontale. Mais ce n'est pas très intéressant parce que k égale 0 c'est quoi ? C'est la fonction, ou quand je remplace par 0 ici, c'est la fonction f' 0 qui vaut 1 moins 0, c'est la fonction constante égale à 1. Y a que dans le cas de la fonction constante égale à 1 que j'ai une tangente horizontale ailleurs qu'au point 0. Là en l'occurrence c'est partout vu que c'est juste une fonction constante. Question bof intéressante, mais voilà, l'idée c'était juste de vous montrer. Petit calcul de dérivé, petit calcul de tangente, appliqué à l'exponentiel. C'est très classique, faut savoir faire ça vite. Je vous retrouve dans une prochaine vidéo, posez des questions si besoin, bye bye !

Famille d'exp et leurs tangentes

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