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Exponentielle

Ce cours porte sur l'étude d'une fonction exponentielle et un peu d'X. La question 1 est importante car elle révèle une fonction impaire, ce qui implique une symétrie centrale. Une astuce consiste à simplifier l'expression pour une meilleure compréhension. La méthode la plus rapide consiste à étudier la variation de la fonction en trouvant sa dérivée. On peut étudier la position relative de la fonction par rapport à une droite donnée en comparant leur différence. Enfin, on peut étudier la fonction pour des valeurs négatives et positives en approchant zéro ou l'infini.

Autre grand classique à bien connaître sur le bout des doigts, une étude de fonction avec un peu d'exponentiel, un peu d'X. Je ne l'ai pas mis dans les méthodes aller plus loin, parce que là-bas il y aura des exercices avec des fonctions encore plus moches. Je le mets dans le classique parce que ça tombe quand même assez souvent. Il y a des petites difficultés donc c'est important de bien le voir, mais honnêtement ça peut tomber, ça peut être un exo que vous allez rencontrer en DS. De manière potentiellement commune. Donc je vous conseille de bien le connaître et de l'avoir dans vos références de méthodes à connaître par cœur. En tout cas, pas question par question, mais voir un peu comment on s'en sort. Le plus intéressant ici, honnêtement, je trouve que c'est la question 1. Parce que c'est une fonction qui va être impaire, mais ça ne saute pas aux yeux. Donc là elle est un peu bizarre. Ça va marcher. On va voir qu'elle est impaire, en tout cas moi avec ma méthode. Parce que j'ai appliqué une méthode que je vous ai déjà expliquée dans un exercice précédent, donc c'est une vidéo qui doit être dans la même section. C'est une vidéo qui était ici, pas du tout. C'était la vidéo à propos de cette fonction là. Où en gros j'avais fait une petite astuce où je fais apparaître le dénominateur au numérateur. Donc allez voir la vidéo si vous voulez que j'explique un peu plus, mais là je peux le refaire. L'idée c'est que je vais simplifier cette expression pour avoir une fraction plus jolie, plus abordable. Je le fais assez souvent en général, donc là je le fais spontanément. Et quand je le fais j'ai vu que ça allait m'aider à comprendre ce qui se passe. Alors on écrit plus 1, moins 1, dans la démarche je vais faire apparaître le truc qui est en dessous ou au dessus, mais vu que je veux respecter les règles de l'arithmétique, si je mets plus 1 je dois le compenser. Sinon l'égalité est juste fausse. Je ne peux pas dire que ça c'est égal à ça si je ne fais pas moins 1. Donc je trouve 1, moins 1 sur le 2x plus 1, et si je remets tout avec le 4, je vois que ça fait moins 4, plus 4, moins 2, ça fera plus 2, moins 2x. J'ai mon expression. A côté, j'ai mis un petit cœur ici pour la méthode de ça là. A côté je fais f2, moins x. Voilà je vais déranger, non c'est bon. f2 moins x c'est quoi? Je prends mon expression qui est là en l'occurrence, et je fais moins 4 sur e de moins x plus 1, plus 2x parce que j'ai remplacé x par moins x, plus 2, qui lui ne change pas. Alors qu'est-ce que je peux faire ensuite? Je multiplie en haut et en bas de cette fraction, je multiplie en haut et en bas par e2x divisé par e2x. Je multiplie par e2x pour faire apparaître des e2x. Donc ça, ça fait e2x là-haut, et celui-là ça devient 1, celui-là devient e2x. Comme ça je m'approche beaucoup plus de l'expression de la fonction de départ. C'est une astuce. C'est vraiment cette question-là qui est la plus complexe, c'est pour ça que je vous l'ai mise. Ensuite ça fait toujours plus 2x plus 2. Et je me rends compte, tout de suite, que c'est quasiment f2x, il y a juste un signe moins à mettre en facteur. Si je mets un signe moins en facteur, je retrouve f2x dans sa forme non pas transformée ici, mais dans sa forme première. Mais la forme transformée m'a aidé à repartir pour f2 moins x. C'est la manière la plus rapide que j'ai vue pour le faire. Il y a moyen de le faire sans ça, mais honnêtement c'était un peu la galère, je l'ai fait, on s'y perd un peu. Moi je vous conseille, si vous avez ce réflexe-là, il se trouve que ça clarifie un peu les choses. Pour clarifier bien, faites une colonne f2x, une colonne f2 moins x. Et je trouve que ça aide pour clarifier au brouillon, ou même sur votre copie. f impaire, quelles conséquences? Elle admet O comme centre de symétrie. On peut donc l'étudier uniquement sur le côté 0 plus infini, et ensuite on fera une symétrie pour compléter. Étudier sa variation, c'est pas très compliqué, on va faire une dérivée. Quelle dérivée je vais faire? Là c'est du u sur v, ça me saoule, j'aime pas. J'ai une expression grâce à mon changement avec du 1 sur u, j'aime mieux, parce que c'est plus simple. Donc si je dérive sur R+, ça devient, moins la dérivée du truc qui est en dessous, x moins 4, donc 4 fois e2x, sur e2x plus 1 au carré, moins 2 pour ça. Quand est-ce qu'elle est positive ou nulle? Alors regarde, positive ou nulle, si elle est seulement 6, ça c'est plus grand que 1, je divise par 2 de chaque côté. Je passe ça ici, je développe, et en fait il y a des trucs qui simplifient, le 2e2x a le bon goût de se simplifier ici, il reste juste e2x plus 1, plus le petit voyer à la 0. Bah ça, ça arrive jamais, tout simplement. e2x plus 1 c'est positive strict, donc ça c'est jamais positif, donc il est toujours négatif. J'aime bien ce cas là aussi, parce que je vous dis toujours qu'il faut commencer par f'2x positive ou nulle si elle est seulement 6. Et si vous me répondez, oui mais quand est-ce que 6 est jamais vrai? Ben c'est pas grave, si c'est jamais vrai, ça veut dire quoi? Ça veut dire que c'est toujours négatif, et donc vous pouvez remplir comme ça directement. Top, vous avez votre tableau. On vous dit ensuite, étudie la variation, c'est fait. Etudiez la position relative de cf avec la droite, (-2x-2), en gros c'est la droite qui est ici, donc elle est déjà dans l'expression. Donc qu'est-ce que je fais, j'étudie f2x moins (-2x-2), j'étudie la différence pour les positions relatives, j'étudie la différence entre les expressions. Je vois que la différence entre les deux c'est 4e2x sur 1 plus e2x, c'est positif. Donc f2x est toujours au-dessus de la droite, (-2x-2). Sur un graphique ça se voit, je vous ai mis une graphite ici. En bonus, des trucs que vous ferez l'année prochaine, on peut regarder ce qui se passe côté moins l'infini, parce qu'on voit que quand on va s'approcher des nombres très négatifs, on va se coller à cette droite, alors que quand on s'approche des nombres positifs, quand on part vers là-bas, là on s'en éloigne à une certaine distance. En fait on voit ici que la différence entre les deux, quand x devient moins l'infini, ça en fait e de moins l'infini, on sait que la fonction exponentielle en moins l'infini devient 0, elle se colle à l'axe par là-bas. Oups, j'ai pas très bien fait. L'exponentielle si vous voulez, elle est comme ça, et là elle tend vers 0. Donc ça devient 0 quand x tend vers moins l'infini, et ça veut dire que la différence entre les deux courbes devient nulle, elles sont indistinguables, c'est ce qu'on voit ici, en effet elles se collent complètement. Ça par contre on voit que quand x devient très très très très grand, ça et ça, ça va à peu près se compenser, il va rester 4. C'est du programme de terminal, donc au pire laissez tomber, mais je vous montre juste l'intuition. La limite de la différence entre les deux, la différence entre les deux va devenir 4 en gros. C'est pour ça qu'on a l'air d'avoir un espèce d'intervalle de 4 entre la droite et la courbe. Voilà, j'espère que c'était clair, l'exo est pas mal à voir, à refaire. La question 1 est pas simple, essayez de la faire sans utiliser ma petite transformation, vous verrez que ça complique un peu les choses. Peut-être que je me trompe d'ailleurs, dites-moi si je me trompe, dites-moi et montrez-moi comment le faire plus vite. Posez des questions sinon et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Etude complète de base avec exp

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