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Dans ce cours, nous étudions les fonctions cosinus et sinus hyperboliques, qui sont des fonctions courantes en physique et en maths pures de première année. Nous démontrons que cosinus hyperbolique (cosh) est pair et nous étudions ses variations sur l'intervalle 0 plus infini. Nous faisons de même pour le sinus hyperbolique (sinh). Nous étudions également quelques relations intéressantes entre les fonctions, telles que cosh plus sinh et cos² moins sin². Enfin, nous démontrons que deux fois le sinus hyperbolique de 2X est égal à la multiplication de cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de X.

un exercice qui pousse un peu l'exponential jusqu'à la maths sup, honnêtement. Alors pas la maths sup en termes de programme, on va tout faire dans le cadre de la première, mais la maths sup parce que ces fonctions définies ici sont des fonctions qu'on voit tout le temps quand on étudie des systèmes un peu plus complexes en physique ou quand on étudie des maths pures en première année, pourquoi pas. Donc on définit ces fonctions, on les appelle cosinus et sinus hyperboliques. On va voir qu'on leur met le nom de cosinus et sinus parce que quand on définit ces fonctions-là, on retrouve des propriétés qui ressemblent un peu aux cosinus sinus classiques que vous connaissez. Ou que vous connaissez peut-être pas d'ailleurs selon là où vous êtes dans le programme. En gros, on peut les étudier malgré tout. Il y aura des propriétés similaires entre les deux, donc ça a ce petit nom-là. Démontrer que cosh, cosinus hyperbolique, est pair. Très bien, ça prendra deux secondes. Qu'est-ce qu'on va pouvoir en déduire concernant la courbe? Pair, ça veut dire qu'il y aura une symétrie par rapport à l'axe OY. Très bien. On étudie ensuite ces variations sur 0 plus infini. En effet, quand une fonction est pair ou impaire, on peut dire qu'on se limite à 0 plus infini et qu'après on n'a plus qu'à faire une symétrie. Donc ça nous fait gagner du temps. On en déduit dans le tableau de variations. Très bien. On fera la même chose pour sinus H en question 2. Puis ensuite, on va chercher des petites expressions qui potentiellement vont ressembler au sinus cosinus. Regardons donc. Montrer qu'elle est pair. On calcule pour une fonction. Pour montrer qu'elle est pair, on calcule combien vaut l'image de moins X. Cosinus H de moins X est égal à E de moins X plus E de moins moins X. Ici, il y a un double moins. Ça refait plus X. Je me retrouve avec la même somme que dans la fonction de base. Donc ça fait cos H de X. Elle est pair. Très bien. Sur R plus. On dit d'étudier ces variations. Elle est dérivable. Je dérive. Ce n'est pas très compliqué. C'est beaucoup d'expérience là-dedans. Ça fait E de X qui reste lui-même. Plus E de moins X. Ça fait moins E de moins X. Il y a un moins qui apparaît parce que la dérivée de moins X est moins 1. Sur 2. Petite remarque en vert. C'est d'ailleurs l'expression. C'est la dérivée. Je reconnais l'expression de sinus H. On ne me le demande pas, mais je l'écris quand même. Je peux dire ensuite que cos H prime sera positif ou nul. Si et seulement si, ça c'est positif ou nul. Donc si ça c'est plus grand que ça. Et donc si je mets tout, je fais fois E de moins X de chaque côté. Je peux mettre ça comme ça. Je fais fois E de moins X de chaque côté. Ça me fait E de... Pardon, pas du tout E de moins X. Je fais fois E de X de chaque côté. Ça me dirait ce petit moins. Je fais fois E de X de chaque côté. Ça me fait E de 2 X ici. Et là, ça fait dégager le E de moins X. Il ne reste plus qu'un. Donc ça c'est vrai que si X est plus grand que 0. Conclusion, à quoi ça ressemble? Sur 0 plus infini, ça ne fait que monter. Donc ça c'est ce que je viens d'étudier. Et je complète le tableau par symétrie. Donc je sais qu'ensuite par symétrie par rapport à l'axe Y, j'aurai la même chose en inverse un peu. Donc si la fonction d'un côté est en train de monter, de l'autre elle est en train de descendre. Comme une parabole X². Et donc je trace ça pour compléter le tableau. Je sais ensuite qu'elle commence en 1. Enfin, à un minimum 1, pardon. Ça me fait le tableau complet. De la même manière, on peut faire sinh H. Donc sinh H de moins X. Je reconnais ici que ça fait E de moins X, moins E de X. En fait c'est comme sinh H mais avec un sinh moins. Donc elle est impaire. Si elle est impaire, elle la met haut comme centre de symétrie. C'est la définition de l'imparité. Sur R+, j'étudie que sur R+, pour ensuite voir ce qui se passe sur R- par symétrie. Sinh H est dérivable. Sinh H' est égal. E de X, ça se dérive en E de X. E de moins X, comme il y a une seconde, ça fait moins E de moins X. Sauf que, moins E de moins X, quand il y a un moins devant, ça devient un plus. Je me rends compte par ailleurs que sinh H' c'est égal à cos H. Ce qui est intéressant avec ces deux fonctions, c'est qu'elles sont dérivées l'une de l'autre. Ça c'est que une somme d'exponentielle, donc c'est toujours positif. Sinh H' est toujours positif, donc sinh H est strictement croissante. Entre moins l'infini et plus l'infini en l'occurrence. Si elle est croissante complètement sur 0 plus l'infini, elle est aussi croissante quand je fais la symétrie de l'autre côté. Démontrer ensuite, ça c'était le début, des petites relations intéressantes. Il faut calculer trois choses, cos H plus sinh H, ensuite cos² moins sin², puis ensuite sinh H de 2X. Ça en fait, c'est une formule classique pour le sinus. Ça rappelle normalement sinh 2A égale 2 sinh A cos A. J'ai fait se tromper. Sinh 2A égale 2 sinh A cos A. Et on va le remontrer ici, c'est pour ça qu'on appelle ça, c'est une des raisons pour lesquelles on appelle ça cos hyperbolé. Cos H plus sinh H, vous faites la somme, pas très compliqué. Vous avez E2X plus E2-X plus E2X moins E2-X, je dis ça vite, tout ça, ça dégage. Il reste E2X plus E2X sur 2, ça fait E2X. Cos H² moins sinh H², premier truc que je fais pour ne pas me prendre la tête. Qu'est-ce que je fais? Je fais, là, une enceinte remarquable, ça c'est du A2 moins B2, ça fait A plus B fois A moins B. A plus B, je l'ai calculé ici, ça fait E2X. A moins B, je vous laisse le faire chez vous, à la maison. Et en fait, cos moins sinh, ça fait E2-X. Parce que au lieu d'avoir, vous avez ça ici, vous avez un moins ici, un plus ici si vous voulez. Et donc c'est les E2X qui dégagent. Il reste 2 E2-X divisé par 2, ça fait E2-X. Donc ça fait E2X fois E2-X, parfait, ça fait 1. Ça, ça ressemble à la relation fondamentale du sin et du cos, où c'est cos² plus sin², les sinhs usuels de première, égale à 1. Donc c'est une petite nuance avec le sin moins, mais ça ressemble un peu. Enfin, sinus de 2X, vous remplacez, vous mettez 2X moins 2X. On veut transformer ça et faire apparaître du sinh, donc qu'est-ce qu'on fait? Moi je veux en gros un produit, sinh fois cosh, c'est ça qu'on me demande. Je m'inspire de ce que demande la question ici. Donc je veux un produit, c'est-à-dire que je veux factoriser. Ça, je reconnais 2². Vu que c'est une différence de 2², je peux factoriser avec mon identité remarquable. J'ai l'identité remarquable ici, E2X moins E2-X, E2X plus E2-X. Je les sépare les deux, et je me rends compte que si je veux faire apparaître sinh et cosh, il va me manquer un sur 2. Donc je rajoute un et je le compense ici. Ça me fait donc 2 sinh-cosh. La question est réglée. J'ai été un peu vite. Vous voyez les axes de réflexion à chaque fois, les étapes. J'aimerais un truc factorisé, je me rends compte que c'est des carrés, et que je peux aller avec une identité remarquable plus loin dans l'exercice. Il me manque un 2, je l'ajoute. C'est le petit réflexe que je veux voir avec vous dans ces exos beaucoup plus difficiles et laborieux. J'espère que c'était clair en tout cas, que ça vous l'a un peu démystifié, que vous êtes capables de le refaire si vous posez la vidéo et que vous recommencez solo sans regarder la correction. Et sur ce, je vous dis, posez des questions si besoin. Et à la prochaine.

Cos et Sin hyperboliques !

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