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Exponentielle

Dans cet exercice, on doit étudier la dérivabilité d'une fonction comprenant de l'exponentiel pour une valeur donnée en 0. La méthode consiste à calculer le taux d'accroissement en ce point et vérifier s'il admet une limite finie. On factorise ensuite le taux d'accroissement pour faire apparaître le ratio e2x-1 sur x, qui a une limite de 1 lorsque x tend vers 0. Cette limite est la définition de la dérivabilité de la fonction exponentielle en 0. En utilisant cela, on peut simplifier l'exercice et conclure que la fonction n'est pas dérivable en 0 car son taux d'accroissement tend vers plus ou moins l'infini en ce point.

Un exercice pas simple, encore une fois sur la dérivabilité potentiellement ou non d'une fonction avec de l'exponentiel dedans. On vous définit, un peu comme souvent dans ces exercices, une fonction pour toute x non nulle et ensuite on met un point spécifique pour la valeur en 0. Donc on dit, comme c'est divisé par x, ce n'est pas défini par 0 cette expression, donc on dit f vaut ça quand x est non nulle et ensuite on dit en 0 on lui fixe un point, une valeur. Étudier la dérivabilité comme d'habitude ça va être assez simple en dehors du point spécifique un peu problématique. Si x est différent de 0, f est dérivable comme quotient de fonction dérivable. Donc ça c'est dérivable, ça aussi, quotient de fonction dérivable, il n'y a pas de problème. Pour x égal 0, qu'est-ce qu'on fait? Méthode, quand on vous demande la dérivabilité en un point, toujours une seule définition. Calculez si potentiellement le taux d'accroissement en ce point admet une limite fine. Calculez le taux d'accroissement, donc c'est f2x-f20 sur x, donc c'est ça, moins 0 le tout sur x. Je me retrouve avec cette chose là, divisé par x. C'est pour ça que j'ai un x² ici. Parfait. Or, on va pouvoir écrire, je vais factoriser tout ça par e2x en haut et x en bas. Pourquoi pas x² en bas, vous allez voir pourquoi. Donc quand j'écris ça de cette manière là, ce qui est intéressant c'est que je fais apparaître ce ratio ici, e2x-1 sur x. Ça, accrochez-vous, il va falloir l'apprendre par coeur. Ça sera au programme en terminale dans tous les cas, mais il faut connaître la limite de ce terme là. Donc la limite de ce terme là, quand x tend vers 0, c'est 1. D'où que ça vient, vous allez me demander. L'idée, c'est que ça, on peut le comprendre comme un taux d'accroissement lui-même. Mais un taux d'accroissement très simple, le taux d'accroissement de la fonction exponentielle. Donc l'idée dans mon petit encadré, c'est de dire, comme exp est dérivable en 0, repartons de 0 et faisons comme si de rien n'était. La fonction exp est dérivable, on est tous d'accord, elle est dérivable en 0. Et on a exp' de 0, qui est exp de 0 parce que l'exponentiel est toujours égal à sa dérivée. Or, exp de 0, ça vaut 1. Donc je sais que l'exponentiel est dérivable en 0 et que sa dérivée vaut 1 en ce point. Très bien, ça veut dire que le taux d'accroissement de l'exponentiel, e2x-e0 sur x-0, admet une limite finie en 0, qui est 1. L'idée, c'est qu'en fait la traduction de ce fait là, l'exponentiel est dérivable en 0, en limite, nous donne cette chose là. Donc connaître la dérivabilité en l'exponentiel peut nous permettre de voir en fait ce taux comme une limite à connaître, qu'il est pratique de connaître parce qu'elle tombe souvent en exercice. Et donc voilà, c'est ça le truc qu'il vous faut apprendre par cœur et qui vient d'où? C'est juste la définition de la dérivabilité de la fonction exponentielle en 0. Donc sachant ça, vous allez me dire, on ne connaissait pas, c'est fait. Sachant ça, quand vous avez un exercice où il y a moyen de faire apparaître ça, en général c'est très pratique, ça permet de simplifier un peu l'exo. Parce qu'on fait ici, on a ça qui apparaît, donc on n'a plus qu'à gérer la limite de somme. Donc, si je fais un bilan, E de x, quand x tend vers 0, ça, ça tend vers 1, pas très compliqué. 1 sur x quand x tend vers 0, si c'est 0 par la gauche ou par la droite, ça va tendre vers plus ou moins l'infini, mais en gros c'est 1 sur un truc tout tout petit, ça devient plus l'infini si c'est un truc tout petit positif, ça devient moins l'infini si c'est un truc tout petit négatif. Donc j'ai quelque chose qui tend vers 1 ici, quelque chose qui tend vers 1 ici, et j'ai 1 sur x ici qui tend vers plus ou moins l'infini. L'idée c'est donc que le tout va tendre vers plus ou moins l'infini, parce que 1 fois 1, ça ne va pas impacter vraiment la limite. Donc j'ai mon taux d'accroissement qui va tendre vers plus ou moins l'infini en 0. C'est la conclusion de l'exercice f est non dérivable en 0.

Dérivabilité en 0 (2ème exemple)

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