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Nous étudions une fonction complexe et examinons la méthode d'étude de fonction. Nous commençons par vérifier si la fonction est paire ou impaire, puis si elle est trivialement croissante ou décroissante. Ensuite, nous examinons la dérivée et étudions le signe de l'expression pour en déduire le signe de la fonction. Si nous ne pouvons pas simplifier l'expression de la dérivée, nous pouvons étudier la fonction elle-même pour en déduire son signe. Nous pouvons redériver la fonction pour avoir sa dérivée seconde et trouver les points de minimums ou maximums en cherchant ses racines. En utilisant cette méthode, nous pouvons résoudre des fonctions complexes et obtenir de meilleurs résultats aux contrôles.

Petite étude de fonction avec une fonction un peu plus complexe que ce qu'on peut trouver dans les exercices de départ. Je l'ai mis, c'est aussi l'occasion de faire un petit récap de quelle est la méthode d'étude de fonction. Alors, on me dit F définition R, ça a l'air d'avoir du sens par rapport à ce que je vois ici. Définition R, étudier. Quand on vous dit ça, cartier libre, il faut savoir comment structurer votre pensée. Ensemble de définitions, c'est fait. Est-ce que la fonction est paire ou impaire? C'est le premier truc qu'il faut checker, parce que si ça se trouve, ça va vous régler vachement de problèmes et vous permettre d'aller beaucoup plus vite. Ici, on voit assez vite qu'elle n'est ni paire ni impaire. Tant pis. Est-ce qu'elle est trivialement croissante ou décroissante? C'est-à-dire, par exemple, si j'ai X plus X3, c'est une somme de deux fonctions croissantes, le tout est croissant. Ici, ce n'est pas le cas. Bon, maintenant que j'ai vérifié tout ça, ça prend une demi-seconde, alors je me reporte sur la dérivée, maintenant. Donc, F est dérivable sur R, et quelque soit X appartient à R, F' de X est égale, etc. Pourquoi je ne le fais que maintenant? C'est pour bien vous dire, je réinsiste, que des fois, on peut se passer de l'étape dérivation, sur laquelle les élèves ont tendance à se jeter, ce qui n'est pas mal en soi, mais vous pouvez rater des opportunités de faire plus vite, et donc d'optimiser votre temps au contrôle, et donc de faire plus d'égation et d'avoir des meilleures notes. Donc, quelque soit X, F' de X est égale, on dérive, E de X reste E de X, E de moins X devient moins E de moins X, donc il y a un moins qui apparaît ici, X se transforme en 1. On va étudier le signe de F', F' de X est positif ou nul, s'il y a seulement si, on a ce truc là qui est positif ou nul. Maintenant, il faut étudier le signe de cette expression. Comment on va faire? On va étudier F' de X, et l'idée c'est que ça, c'est une expression qui dépend de X, dont je cherche le signe, et que je n'arrive pas à factoriser, ou je n'arrive pas à faire d'opération simple dessus, donc c'est une expression de X un peu complexe qu'il faut étudier. Ça, ce que ça veut dire, c'est qu'il faut étudier la fonction. Il faut considérer que ça, c'est une fonction, étudier comment elle se comporte pour trouver son signe. Donc on pourrait l'appeler G de X et l'étudier. En fait, ce qu'on peut dire, c'est que vu qu'elle s'appelle F', F' va être dérivable, et on va pouvoir dire que F'' de X, c'est-à-dire la dérivée seconde de X, si je dis, si j'appelle ça G, ça serait G', vu qu'elle s'appelle F', on peut appeler ça F'' de X, égale. On va redériver tout ça, c'est E de X plus 2E de moins X, et là je me rends compte que j'ai une dérivée de cette quantité qui est positive stricte. Donc cette quantité-là, cette fonction F' est strictement croissante. Très bien, elle est strictement croissante sur R, je peux tracer son tableau de variation. Ce n'est pas encore le tableau de signe, parce que moi ce que je veux c'est le signe de F', mais je sais au moins comment elle se comporte entre moins l'infini et plus l'infini. Elle croit. Ce qu'il faut remarquer ensuite, qui résout l'exo ici, vraiment c'est le plus important, c'est ça. On se rend compte qu'à un moment, elle va avoir leur 0. Et là ça va régler le problème, parce que moi ce qui m'intéresse encore une fois, ce n'est pas sa croissance-décroissance, c'est quand est-ce qu'elle est positive-négative. Si je trouve qu'elle vaut 0 quelque part, alors qu'elle est strictement croissante sur tout R, je saurais qu'en fait elle est négative avant 0, et positive après. Or ici il faut remarquer ça, c'est un peu l'idée de l'exo, c'est qu'en fait un F' de 0, ça fait 1, moins 2 sur 1 plus 1, ça fait 0. C'est remarquer ça qui vous permet de déchirer cet exo et d'avancer. Vous étudiez la dérivée seconde, mais c'est l'idée de bon bah F' est un peu trop compliqué pour pouvoir le gérer juste en factorisant en faisant une opération très simple, donc je ré-étudie la quantité, je vois ça, j'obtiens le signe de F'. Donc qu'est-ce que j'ai? F' est négatif avant 0, positif après. J'ai donc une fonction qui décroit, qui croit, qui admet un minimum en 0 et qui vaut en l'occurrence 3. Donc voilà, je voulais vous montrer ça parce que des fois, quand F' est trop complexe, il faut redériver, et ce n'est pas très grave, il faut juste le faire, la dérivation est un outil qui nous permet d'étudier les quantités de x, on le fait, ça débloque. Posez des questions si y'a besoin et je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

Dériver 2 fois pour conclure !

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