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Cette transcription d'une vidéo explique comment trouver un encadrement de la constante E de l'Eve à partir d'un exercice en combinant l'exponentiel et la suite. Les deux premières questions portent sur le comportement de l'exponentiel par rapport à X, tandis que les questions suivantes impliquent des applications d'entiers et l'étude de suites. À la question 5, on doit montrer une inégalité avec de l'exponentiel et du X en utilisant une fonction. Enfin, à la question 6, on doit trouver un encadrement de E avec une amplitude de 10^-6 en utilisant les résultats des questions précédentes. Pour cela, on utilise une valeur de N telle que l'écart entre deux valeurs encadrant E est inférieur à 10^-6. Il est important de suivre la méthode étape par étape et de ne pas paniquer.

un exercice assez complet qui mélange exponentiel et suite où on va essayer de déterminer un encadrement de E, la constante de l'Eve. Plusieurs questions. Deux questions au début plus générales sur comment l'exponentiel se comporte par rapport à des quantités de X. On sent dans l'idée déjà qu'il va falloir peut-être étudier des fonctions. 3 et 4, on va voir des applications de ces questions 1 et 2 à des quantités avec des entiers. On va étudier des suites. Puis 5 et 6, on va faire des conclusions par rapport à ce qui a été fait dans les questions d'avant. On veut montrer une inégalité avec de l'exponentiel, du X, etc. Réflexe, toujours le même réflexe. On met tout à gauche, on met tout d'un côté et on pose que c'est une fonction. Quand j'écris tout à gauche, c'est E de moins X, moins 1 plus X. J'appelle ça G, c'est une fonction. J'essaie de voir si cette fonction G ne serait pas positive strict. J'étudie ça, j'ai une dérivable sur R. J'espère montrer qu'elle est toujours positive ou nulle. En fait plutôt positive strict, mais on verra de toute façon. Alors très bien, G' de X c'est quoi? On la dérive, tout simplement, elle est dérivable, on dérive, on voit ce que ça donne. 1 moins E de moins X, G' de X va être positive ou nulle si et seulement si. 1 est plus grand ou égal à E de moins X si et seulement si. On arrange un peu, on inverse, E de X plus grand que 1, X plus grand que 0. Qu'est-ce que je peux montrer? J'ai mon tableau de variation. J'ai pris mes moins, plus et vos zéros en zéro. Donc ma fonction G décroît, puis croît. J'ai donc un minimum en zéro. Et là, vu que je veux montrer que G est positive ou nulle, j'espère en mon fort intérieur quand je vois ça, que G' de 0 vaut 0 ou plus. Si G' de 0 vaut genre 2, c'est bon. Ça veut dire que quelles que soient les valeurs de X, comme G' de X pour toute X est plus grand que G' de 0, par définition de ce qui est un minimum, alors je serais bon. Je calcule G' de 0, je trouve que ça fait 1 plus 0 moins 1, ça fait 0. C'est parfait. J'ai G qui est toujours supérieur ou égal à 0, qui est juste égal à 0 au point 0. Donc quels que soient X non nulles, G' de X est positive strict. C'est ce qu'on voulait démontrer. Pour toute X non nulle, j'ai ça qui est positive strict, j'ai E de moins X qui est strictement plus grand que 1 moins X. C'est parfait. Deuxième question. En déduire que, alors là c'est le mot clé, en déduire que, ça veut dire ne reposez pas une fonction. Vous pouvez vous dépatouiller, ça se ressemble un peu. C'est l'idée. Ça va ressembler à ça, on va voir si on peut inverser le tout. On vous dit spécifiquement que X doit appartenir à 0, 1 ou V. Donc regardons un peu ce qui se passe. Je vais dire E de moins X plus grand que 1 moins X. Si et seulement si. Je vais pouvoir multiplier par E de X de chaque côté. Parce qu'apparemment ici je ne veux plus E de moins X, je veux E de X. Vu qu'on me dit en déduire, je commence à faire apparaître les bons termes. Je multiplie par E de X et j'ai E de X du côté plus petit. Donc là je suis très content. Tout ce qu'il me reste à faire, ça serait diviser par 1 moins X. Pourquoi pas? Il faut vérifier qu'on peut diviser par 1 moins X. C'est-à-dire qu'on peut diviser par 1 moins X sans changer le sens de l'inégalité. N'oubliez pas que si on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens. Or, comme X appartient à 0, 1 ou V, 1 moins X est positif strict. Et donc je peux bien diviser sans problème de chaque côté. Ça me démontre la question 2. Question 3. On dit de déduire du 1 quelque chose. Là je vais vous montrer comment analyser ce genre de question. Il faut comprendre quoi appliquer à la question 1. Pour quel X non nul, quel X non nul je vais mettre dans cette expression pour trouver exactement ça? Je vais décomposer de manière un peu pratique. Analysons. On a E de moins X plus grand strict que 1 moins X. Et je veux E de X plus grand strict que 1 plus 1 sur N puis 100 sur N. Là il faut faire le jeu de différence. Honnêtement c'est ça qu'il faut faire. Quand vous n'êtes pas sûr, vous vous demandez comment vous pouvez bien appliquer quelque chose, il faut le poser et observer. Quel X je vais pouvoir appliquer? Quel X je peux choisir qui est juste non nul. Par exemple 1 sur N. Pour que quand je le mets là dedans, ça me donne exactement ça. Quels sont les différents problèmes? On fait le jeu de différence en se rendant compte. Premièrement ici j'ai 1 plus 1 sur N. Donc je n'ai pas de signe moins. C'est embêtant. Parce que là j'ai un moindre, je me dis qu'est-ce que je vais faire? Bizarre. Deuxième problème, la puissance N. Je n'ai pas de puissance N ici. Embêtant. Troisième problème, le E. Il n'y a pas de puissance moins X. J'ai E tout simple ici. On va essayer de réfléchir et voir comment on peut arranger ça. Le 1, pas de signe moins, ce n'est pas un problème si je prends un nombre négatif. Si je mets moins 2 ici, ça fera 1 plus 2. Donc si X est négatif, ça ne pose pas de problème. La puissance, c'est un problème. Qu'est-ce que je peux faire? Je peux partir de cette expression et enlever la puissance. Je l'enlève pour voir ce que ça donne. Pour voir si je peux retrouver une expression 1 plus 1 sur N. Comment on l'enlève? Je peux dire que 1 est plus grand strict que 1 plus 1 sur N puissance N. Si et seulement si. Je prends la racine d'unième. C'est la puissance insuraine de chaque côté. E de moins 1 sur N, plus grand strict que 1 plus 1 sur N. J'ai aussi réglé mon problème 3, parce que je disais que je n'avais pas de puissance dans mon E. J'en ai une maintenant quand je retravaille l'expression comme ça. Qu'est-ce que je fais? Je me rends compte que si je mets, avec le bilan de tout ça, si je mets X égal moins 1 sur N, parce que X a le droit d'être négatif, ça fonctionne. Repartons comme si rien n'était de l'expression. E de moins X, plus grand strict que 1 moins X. Et je mets moins 1 sur N là-dedans. Si je fais ça, ça fait E de moins moins 1 sur N, supérieur strict à 1 moins moins 1 sur N. C'est une relation qui est vraie, parce qu'elle est vraie pour toutes X non nulles. Là donc, je me rends compte que ça fait E de moins sur N, plus grand strict que 1 plus 1 sur N. J'avais un peu rétro-pédalé, si vous voulez, avant de faire la démonstration dans l'autre sens. Là, je l'écris. Je me rends compte que j'ai bien ça. Et donc, en mettant la puissance N, j'obtiens ce qu'il faut. Donc je déconstruis, et je retricote derrière. C'est un peu l'idée. Question 4. On vous dit déduire du 2, donc c'est un peu l'autre, que maintenant on a ça. Je m'inspire de ce que je vais faire dans le 3. Je vais faire plein de mystères. Moi, je veux E plus petit que ça. Donc qu'est-ce que je peux écrire tout de suite? J'écris, je prends la puissance 1 sur N plus 1, la racine N plus uneième, si vous voulez. Donc ça donne E puissance 1 sur N plus 1, plus petit strict que ça. Donc moi, je dois montrer ce truc-là avec cette inégalité-là. Je vais tenter X égale 1 sur N plus 1. On va bien voir ce que ça donne. C'est un peu la logique que j'ai l'impression d'avoir ici. J'écris X égale 1 sur N plus 1 dans cette expression ici. Qu'est-ce que ça donne? Ça fait E de 1 sur N plus 1, plus petit que 1 sur 1 moins 1 sur N plus 1. Et voyons ce que fait ce truc-là. Ce truc-là, quand je multiplie par N plus 1 en haut et en bas la fraction, ça me donne N plus 1 sur N plus 1 moins 1. Vous simplifiez, ça fait 1 plus 1 sur N. Ça a le bon goût de se simplifier. Super, j'ai exactement ce que je voulais. Je suis très content, ça fonctionne. Vous voyez, il faut faire très attention, être très méticuleux, mettre le bon X et bien analyser étape par étape. Sinon, ça ne fonctionne pas. Petit 5, qu'est-ce qu'on veut? On me dit, montrons que Bn moins An plus petit que 3 sur N. On va voir ce que c'est Bn moins An. J'écris Bn moins An égale 1 plus 1 sur N plus 1 plus 1 moins la même chose, puissance N. Je factorise tout de suite par le plus gros terme commun, celui-ci. Ça me fait 1 plus 1 sur N puissance N, An fois 1 sur N. Or, An, qu'est-ce qu'on a montré? On a montré que c'était plus petit que E. Comme tu dis que E, tout basement. C'était plus petit que E, donc ça fait plus petit que E sur N. Or, E est plus petit que 3, donc ça fait plus petit que 3 sur N. Très simple, il faut juste lancer le calcul et être à l'aise avec la factorisation. On nous dit ensuite, petit 6, trouver un encadrement de E d'amplitude 10 moins 6. Le vérifier à la calculette, ça je n'ai pas fait. Mais qu'est-ce qu'on vous dit? Il faut comprendre ce qu'on a fait. On a montré qu'on avait E qui était plus grand qu'An et E plus petit que Bn. Donc on a An, Bn qui encadrent E. Donc, si Bn moins An est plus petit que 10 moins 6, si l'écart entre An et Bn est plus petit que 10 moins 6, je suis sûr d'avoir un encadrement de E à 10 moins 6 près. Bah oui, de fait, parce que ça va être encadré par deux valeurs très proches dont la proximité est plus petite elle-même que 10 moins 6. Que faire? Bn moins An, je sais que c'est plus petit que 3 sur N. Donc si je prends un N tel que 3 sur N est plus petit lui-même que 10 moins 6, comme je sais que 3 sur N est plus grand que Bn moins N, ça va régler mes problèmes. Il suffit d'avoir un N tel que ça, c'est vrai, pour que ça soit vrai. Je cherche N plus grand ou égal à 3 fois 10 puissance 6. Pour N plus grand ou égal à 3 millions, c'est bon, j'aurai en gros cet encadrement qui sera précis à 10 moins 6 près pour la valeur de E. Donc j'aurai E avec 6 ou 7 décimales. Ça donne ça, 1 plus 1 sur 3 millions puissance 3 millions, plus petit que E, plus petit que 1 plus 1 sur 3 millions puissance 3 millions 1. Vous le verrez sur les calculettes ou avec un tableur. Je ne me suis pas trompé, ça a l'air un peu gros, des millions comme ça, mais je ne me suis pas trompé, c'est la démarche. Vous avez compris un peu, le plus important pour moi dans ces questions-là, c'est 1 et 2, c'est gérable. C'est vraiment comment déduire de la 1 ce qu'il faut faire dans la 3. Allez, étape par étape, ne pas paniquer, décomposez tout, ça fonctionne. J'espère que c'était clair, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye, bye.

Encadrement de e par des suites

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