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Théorèmes de Convergence

Le théorème de comparaison en mathématiques permet d'économiser du temps et des efforts lors des démonstrations de suites. En effet, si l'on peut comparer une suite complexe à une autre plus simple et que cette dernière tend vers l'infini, alors nous pouvons conclure que la première suite aura le même comportement. Ce théorème est utile quand une suite est compliquée à démontrer et qu'on peut la comparer à une autre plus simple. Ainsi, le théorème permet de passer outre les démonstrations complexes en utilisant des suites plus simples. Dans la prochaine vidéo, nous verrons comment ce théorème peut être utilisé.

Le théorème de comparaison est un théorème très puissant et surtout qui va vous faire faire beaucoup beaucoup d'économie d'effort. En gros, grâce à lui, vous allez pouvoir éviter beaucoup de démonstrations qui impliquent toujours des petits epsilon, des grands A et tous les trucs que vous n'aimez pas trop. L'idée de ce théorème c'est que si vous avez une suite Vn, aussi moche soit-elle, mais vous savez la comparer à une suite beaucoup plus simple, si elle a le bon comportement, alors vous serez capable de conclure. J'explique. Donc si on a Vn qui est plus grande que Un, quelle que soit la forme de Vn, si je sais que Un elle-même tend vers plus infini, qu'elle s'en va vers l'infini, alors je peux conclure qu'elle va tirer avec elle la suite Vn. En effet, si vous avez U1 qui est plus petit que V1, U2 qui est plus petit que V2, U3 qui est plus petit que V3, elles vont toutes les deux partir ensemble. Pourquoi c'est pratique? C'est que des fois, Vn va être vraiment d'une forme qui est ingérable. Ça va être un truc pas beau, vous n'allez pas savoir comment l'écrire, vous n'allez pas savoir comment résoudre le problème. Ça peut être un exemple qui me vient comme ça, Vn faut être égal à l'exponentiel de la racine de n² plus 1. Voilà, un truc comme ça. Ce truc-là, on vous dit de le gérer, de démontrer qu'il tend vers plus infini ou je sais pas quoi, vous allez sentir que c'est une exponentielle et que ça monte fort. Vous ne savez pas comment dire. C'est là qu'intervient le terrain de comparaison. L'idée ça va être de dire, si je peux trouver une suite telle que Vn est plus grande que Un et Un elle-même est simple, et Un elle-même est simple, alors tout sera bon. Je finis avec cet exemple-là. Si je prends par exemple, je sais que racine de n² plus 1 est plus grand stricte que racine de n² qui est égale à n. Je peux conclure, vu que l'exponentielle est une fonction croissante, en disant, exponentielle de racine de n² plus 1 va être plus grand stricte que exponentielle de n. Or, ça c'est le bonheur, exponentielle de n c'est quoi? C'est e puissance n. C'est une suite géométrique, une suite géométrique de raison plus grande que 1. Je sais que ça va diverger, ça va partir en plus infini. L'idée du théorème de comparaison ensuite c'est de dire, ça je sais que ça tend vers plus infini, donc elle entraîne dans cette divergence, elle entraîne l'autre, qui en l'occurrence est moche. Mais pas une seconde j'ai été étudier ce truc-là de plus près. J'ai pas dû étudier, j'ai pas dû faire de grands tas de petits epsilon n'y a rien. C'est la beauté du théorème et dans la prochaine vidéo on va le démontrer ensemble.

Théorème de comparaison - Illustration

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