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Théorèmes de Convergence

Ce cours explique comment démontrer le théorème de comparaison en utilisant la divergence vers plus infini. Pour cela, il faut revenir à la définition de TvPi pour une suite et traduire la limite de Un égale plus infini. Ensuite, on peut conclure que Vn est plus grand ou égal à Un, plus grand ou égal à A pour tout A positif et N plus grand ou égal à un certain grand N de la suite. En résumé, cette démonstration permet d'éviter l'utilisation des démonstrations en epsilon ou en grand A, et de simplifier les exercices de comparaison.

Pour la démonstration, je vous ai dit tout à l'heure que l'avantage de ce théorème c'est qu'on aura plus à utiliser des démonstrations en epsilon, en grand A, etc. Malheureusement, pour le démontrer, il faut faire ça, c'est-à-dire qu'il faut revenir un peu à la définition. J'ai mis un petit rappel ici de ce que c'est TvPi pour une suite. On va démontrer ça, c'est assez simple en fait. On traduit, première étape. On nous dit si limite de Un égale plus infini, alors quelque chose. Traduisons le limite de Un TvPi. Si je vous dis limite de Un en plus infini et égale plus infini, je peux en déduire que pour un A positif quelconque, je sais qu'il existe un certain rang, un certain grand N appartient à N, tel que pour tous les éléments de la suite au-dessus de ce grand N, ma suite finit par être plus grande que le grand A. Très bien. Or, quel que soit N, on sait que Vn est plus grand que Un. Donc, je sais qu'il existe... Enfin, je peux utiliser ce grand N, donc je peux conclure que quel que soit N plus grand ou égal à grand N, si vous voulez je vais chercher cette égalité, et je la combine. Quel que soit N plus grand ou égal à grand N, je la combine avec celle-ci. Je peux conclure que Vn est plus grand ou égal à Un, plus grand ou égal à A. Donc je me retrouve avec un A quelconque positif, tout bêtement à dire que quel que soit N plus grand ou égal à N, Vn plus grand ou égal à A. C'est la définition de la divergence en plus de l'infini. Tout bêtement, si vous voulez, si j'y réécris un peu de manière globale, pour ce A positif, on a un grand N tel que quel que soit N plus grand ou égal à ce grand N, Vn plus grand ou égal à A. Je suis passé par le fait que Vn est plus grand que Un, mais c'est ça ma conclusion, et si vous réfléchissez bien à ça, c'est exactement la définition de la divergence vers plus infini qui est au-dessus. Parfait, c'est torché. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si vous avez des doutes, mais c'est l'idée de cette démonstration un peu courte, très efficace. Et faire une fois ici vous permet de ne plus jamais utiliser ces grands A, ces petits ε ou ces grands A dans tous les exercices où vous pourrez utiliser le terrain de comparaison.

Théorème de comparaison - démonstration

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