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Théorèmes de Convergence

Le théorème de convergence monotone prouve que toute suite croissante et non majorée tend vers l'infini. Il suffit de trouver un certain rang à partir duquel la suite est toujours au-dessus d'un nombre fixe A. Comme la suite n'est pas bloquée, il existe un anti-naturel P où la suite dépasse A. En combinant cela avec le fait que la suite est croissante, on peut montrer que pour tout A fixé, la suite finit toujours par être au-dessus de ce A. Cela prouve la convergence monotone.

Petite vidéo rapide pour faire une démonstration officielle du théorème de convergence monotone dans un des cas, le cas où on dit toute suite croissante non majorée, donc qui ne se fait jamais bloquer, tend vers plus infini. C'est vrai que si elle a tendance à monter tout le temps et qu'elle n'est jamais bloquée, elle part à l'infini, c'est logique. On va revenir à la définition formelle de la convergence vers plus infini et on va se rendre compte qu'en fait ça, c'est quasiment la même chose que cette définition formelle, donc ça ne va pas être très compliqué de la démontrer. On commence, on se donne un A, on ne voit pas très bien ce que j'ai écrit, on se donne un A positif, soit A positif strict. On va essayer de montrer ensuite que pour ce A fixé, je vais toujours trouver un certain rang à partir duquel la suite est au-dessus de ce A. Ça veut dire que tout A finira par se faire dépasser. C'est donc la définition formelle, mais vous voyez que dans ce cas, ça va être assez automatique. Comme UN n'est pas majoré, il va donc exister un anti-naturel P, tel qu'à un moment, je sais que UP va être plus grand que A. UN non majoré, ça veut dire qu'il n'y a rien qui peut la bloquer. Donc il y a bien un moment où UP est plus grand qu'A, ça existe. Très bien, je vais combiner ça au fait qu'elle est croissante. Or, UN est croissante, donc quel que soit n au-dessus de P, je vais être plus grand que UP. J'aurai toujours UN plus grand que UP. Ça, ça veut dire quoi? Ça veut dire qu'à partir de P, en fait, à partir de P, pour toute n au-dessus de P, UN est plus grand strict que A. C'est la fin, c'est la démonstration. J'ai bien pu montrer que pour tout A fixé, ma suite finit toujours par être au-dessus. C'est ça, tant de verbes plus infinis. Deux conclusions. Je vous laisse là-dessus et à la prochaine.

Th convergence monotone - démo

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