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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours explique comment calculer les sinus et cosinus pour des expressions qui dépendent de n en utilisant le cercle trigonométrique. Le cercle trigo est une manière de voir les angles en associant un angle à la longueur de cercle qu'il peut parcourir. Les longueurs d'arc associées à un angle ont la même valeur de cosinus-sinus et peuvent être associées à une certaine valeur π ou un nombre de cercles en plus. Les valeurs de cosinus et sinus pour les expressions 2nπ, 2n+1π et nπ sont déduites. Le résultat pour nπ dépend de n, avec un sinus de 0 et un cosinus de -1 ou 1 si n est pair ou impair respectivement. Enfin, une expression complexe est simplifiée pour trouver le cosinus et le sinus pour le point correspondant. Il est important de retenir que moins 1 puissance n correspond à 1 si n est pair et à -1 si n est impair pour nπ. 

Dans cette vidéo, on va vous expliquer comment calculer quelques expressions de sinus et cosinus pour des expressions qui dépendent de n. En gros, c'est vraiment une révision de qu'est-ce qu'est, ou comment fonctionne, le cercle trigonométrique. Dans le petit rappel, le cercle trigo, c'est juste une manière de voir les angles non plus en degrés, mais de voir les angles comme en associant un angle à la longueur de cercle qu'il peut parcourir. Alors je vous explique. On peut dire que le périmètre d'un cercle de rayon 1 a une longueur 2π × r, donc 2π × 1, 2π. Donc ça veut dire que l'angle 360° peut être associé à la longueur 2π. On se dit ensuite, quand on parcourt 180°, on a parcouru une distance π en terme d'arc de cercle. De la même manière, pour 90°, on parcourt π sur 2, ici. Donc on associe maintenant la longueur d'arc à un angle et on voit les angles de cette manière-là. L'avantage, c'est que ici, je pourrais me dire que pour ce point-là, soit ce point correspond à une longueur de π sur 2, ça peut correspondre aussi, si je prends une pelote de laine, si je prends un fil et que je continue le fil comme ça, à π sur 2 plus 360° plus 1 tour de plus, donc plus 1 cercle en plus. Donc π sur 2 plus 2π. Donc je pourrais dire que chaque point, je peux l'associer soit à une certaine valeur π sur 2, une certaine longueur, ou bien un cercle en plus et dire que c'est π sur 2 plus 2π, un deuxième cercle plus 2 fois 2π, un troisième cercle plus 3 fois 2π, un quatrième cercle plus 4 fois 2π. En gros, toutes ces longueurs, ces différentes longueurs d'arc, longueurs de cercle vont se retrouver au même point ici et vont avoir la même valeur de cosinus-sinus. Donc on veut jouer un peu avec ce concept ici. Par exemple, 2nπ, j'ai écrit que quand n vaut 1, c'est 2π, quand n vaut 2, c'est 4π, quand n vaut 3, c'est 6π. On retrouve ici ces trois valeurs de longueur. Ces trois valeurs de longueur, ou toutes ces valeurs de longueur en fait, sont associées à ce point unique. Et donc j'en déduis, en gros, que le cosinus, alors on lit, je vous rappelle ça aussi, on lit la valeur du cosinus sur l'axe X, la valeur du cosinus pour un angle va être lue sur l'axe des abscisses dans le plan. Donc ça, c'est la valeur du cosinus. Et c'est sur l'axe des ordonnées qu'on va lire la valeur du sinus. Donc rapidement, 2nπ, c'est ici, je me rends compte que sinus, c'est 0, cosinus, c'est 1. En effet, vous savez que cosinus, 0, 1. 2n plus 1π, là l'astuce c'est d'écrire ça, 2nπ plus π. Et donc je comprends en fait que π, c'est le point qu'il y a ici, et je parle de ce point, parce que je parle soit de ce point, soit des mesures suivantes qui sont plus 2π, 2nπ ça veut dire que n prend la valeur qu'il veut, ou bien n égale 2, 2 fois 2π, n égale 3, etc. En fait, je me rends compte que ça, le 2nπ me fait juste un peu tourner en rond et rester au même point, donc je parle donc de ce point là. Je n'ai plus qu'à lire sur l'axe, c'est à dire ici le cosinus vaut moins 1, et le sinus vaut 0, on a une hauteur 0. Donc ça fait 0, moins 1. Cosinus nπ c'est intéressant, puisque nπ ça peut être 0 fois π, 1 fois π, 2 fois π, 3 fois π, 4 fois π, etc. Donc on se rend compte que tous les nombres paires de π sont ici, les nombres impaires de π sont ici, c'est un peu ce qu'on a vu là, en fait là on avait les paires 2n, et là on avait les impaires 2n plus 1. Tout nombre 2n plus 1 est un nombre paire, tout nombre 2n est un nombre paire. Donc je me rends compte que nπ va osciller, et ça va avoir soit 1, soit moins 1 pour le cosinus, et toujours 0 pour le sinus. Donc déjà je peux écrire le sinus, sinus ça fait toujours 0, parce que je suis toujours soit sur le point de droite, soit sur le point de gauche. Donc soit sur ce point, soit sur celui-là. Ensuite je me rends compte que ça va être égal à moins 1, et ça va être moins 1 puissance... Alors il ne faut pas se tromper, si je mets moins 1 puissance n, quand n est paire, si n vaut 2 par exemple, je retiens 1. Ça c'est bon, je vais mettre moins 1 puissance n, donc j'ai une réponse qui dépend de n, et je vois que quand je mets moins 1 puissance n, si n est paire, je trouve 1, ce qui correspond bien à ce point là, donc c'est une bonne expression, moins 1 puissance n c'est une manière de contracter le résultat des deux premières colonnes. Enfin, ici on vous dit moins pi sur 2 plus 2n pi plus 1, donc l'idée pour s'en sortir ici c'est de bien écrire le tout, donc c'est moins pi sur 2 plus 2n pi qui fait juste des tours un peu dans le vide et qui ne va pas nous aider, plus pi. Et bien ça c'est pi moins pi sur 2, donc pi sur 2 plus 2n pi. Et donc je me rends compte que ça, ça va être le point qui est ici. Et pour ce point, c'est très simple, le sinus vaut 1, le cosinus vaut 0. Voilà, j'espère que ça a fait une bonne révision de comment lire le cercle, il y a des petits pièges, en gros là c'est vraiment le point le plus complexe, je pense à retenir, retenez-le par cœur, moins 1 puissance n il faut le connaître pour n, pi, mais sinon c'est assez classique. Voilà, en espérant que ça vous a bien aidé, posez des questions si besoin dans le forum, et sinon je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye!

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