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Dans cet exercice, nous apprenons à déterminer le minimum d'une fonction sur R. Pour ce faire, nous devons remarquer que la forme développée de f(x) est équivalente à sa forme canonique x-4²-13. Ensuite, il faut minorer f en trouvant le plus grand k tel que f(x) est supérieur ou égal à k. Nous savons que x-4² est positif, donc f(x) est supérieur ou égal à -13. Cependant, le plus grand des minorants est le minimum de f, qui est égal à -13 et atteint pour x égal à 4.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer le minimum d'une fonction sur R. Alors pour commencer, on nous demande de remarquer que f de x, on peut l'écrire comme x-4²-13. Donc petit rappel, cette écriture-là, c'est la forme canonique. Alors là, on voit que f, c'est une forme développée. On veut montrer que c'est égal à ça. En fait, la méthode est assez simple. Il faut développer la nouvelle écriture, donc x-4²-13, et on retombera sur cette écriture-là. Si c'est la même chose, on nous demande de montrer que c'est la même chose, donc forcément, on retombera là-dessus. Donc c'est parti! x-4²-13, on fait l'identité remarquable pour développer x-4². Ça nous fait x²-8x±16, et ensuite, x-4²-13. Donc on regroupe les deux ensemble, ça nous fait x²-8x±3, et on reconnaît l'écriture de f de x. Donc clairement, f de x est bien égal à x-4²-13. Alors maintenant, on nous demande de déterminer le minimum de f sur R. La méthode pour faire ça, c'est de minorer f. Ça veut dire qu'il faut trouver le plus grand k, qui vérifie que f de x est supérieur ou égal à k. Donc là, on va raisonner avec des inégalités successives en partant de quelque chose qu'on sait. Donc là, on sait que x-4² est positif. C'est un carré, c'est positif. Donc, on veut faire apparaître f de x. Bon, bah, f de x, c'est x-4²-13, bon bah ça, c'est plus grand que –13. Et bah là, on a, du coup, que f de x est supérieur ou égal à –13. Mais ça ne veut pas forcément dire que c'est le minimum. Donc, on dit là que –13, c'est un minorant. Donc là, c'est vraiment les termes mathématiques. –13, c'est un minorant, parce que c'est quelque chose qui va être plus petit que n'importe quelle valeur de f de x. Mais nous, ce qu'on veut, c'est ce qu'on va appeler le plus grand des minorants. Donc le minimum, c'est le plus grand des minorants. C'est, en gros, le plus grand nombre qu'on peut mettre ici, qui va être plus petit que toutes les valeurs de f. Sauf que, bah, on sait que f de 4, c'est 4-4²-13, ça fait –13. Donc, étant donné que –13 est atteint, ça veut dire qu'il y a une valeur de f de x qui est égale à –13. En fait, on ne pourra pas en prendre de plus grand, parce que sinon, en 4, par exemple, on ne sera pas bon. Donc, on sait, du coup, que –13, c'est le minimum de f, et il est atteint pour x égale 4.

Définition d'un minimum

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