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Dans cette vidéo, Paul démontre que si a et b sont deux entiers tels que a plus b racine de 2 égal à 0, alors a = b = 0. Il utilise la logique par l'absurde en supposant que a ou b est différent de 0 et montre que cela mène à une contradiction. Ensuite, il démontre que si m plus n racine de 2 égal à p plus q racine de 2 pour des entiers m, n, p et q, alors m = p et n = q. Il utilise le résultat de la première partie et arrive à cette conclusion en rassemblant les termes et en montrant que n moins p et n moins q sont égaux à 0. Cette vidéo est utile pour comprendre la logique impliquée dans les preuves mathématiques.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans une nouvelle vidéo pour un exercice sur la logique. Donc on rappelle du coup que racine de 2 est un nombre irrationnel, et démontrer que si a et b sont deux entiers relatifs tels que a plus b racine de 2 est égale à 0, alors a égale à b est égale à 0. Donc la première question, on va prendre a et b dans cette carré telle que a plus b racine de 2 est égale à 0, et après on raisonne par l'absurde. Donc quand on a des nombres rationnels et irrationnels et qu'on va jouer là dessus, souvent c'est par l'absurde, et on va montrer qu'un nombre irrationnel est rationnel, et donc que c'est absurde, et ainsi démontrer la chose qu'on veut démontrer. Donc si on suppose, on va supposer que a a différente de 0 ou b différente de 0, parce que là ici on a un e caché, parce que c'est a égale à 0 et b égale à 0. Donc pour démontrer ce qu'on veut démontrer, on doit supposer a différente de 0 ou b différente de 0. Donc si b est différente de 0, le cas b est différent de 0, alors là on peut dire que racine de 2 est égale à moins a sur b, et comme a et b sont des entiers relatifs, c'est un rationnel, sauf que racine de 2 est irrationnelle, donc c'est impossible. Sinon, b est égal à 0, donc a est égal à 0, parce que, vu qu'on a cette relation, sauf que c'est impossible, parce qu'on ne peut pas avoir à la fois b égale à 0 et a égale à 0, parce qu'on a a différente de 0 ou b différente de 0, donc au moins l'un des deux doit être différent de 0, donc c'est impossible aussi. Ainsi, on a couvert tous les cas, et ainsi cette proposition induit à quelque chose d'absurde, donc a égale à b est égal à 0. Donc on a prouvé la première question. Maintenant, la deuxième question, en déduire que si m, n et q sont des entiers relatifs, m plus n racine de 2 égale à p plus q racine de 2 est équivalent à m égale à p et n égale à q. Donc on va poser m, n, p, q des entiers relatifs, et on va prouver cette équivalence. Le sens reciprocal est immédiat, on ne le démontre pas, on dit que c'est automatique, parce que si m égale à p et n égale à q, on a automatiquement ça, ça se voit tout de suite, pas besoin de décrire quelque chose. Et pour le sens direct, on prend m, n, p, q appartenant à Z4, tel que m plus n racine de 2 égale à p plus q racine de 2. Et si on rassemble tout d'un côté, on a m moins p plus n moins q racine de 2 égale à 0. Or, n moins p et n moins q sont tous les deux des nombres entiers relatifs. Donc d'après la question 1, on a m égale à p et n égale à q, parce qu'on a que m moins p égale à 0 et n moins q égale à 0, d'après ce qu'on a démontré à la question 1. Ainsi, on a bien que si m, n, p, q sont des entiers relatifs, on a bien l'équivalence recherchée. OK, c'est la fin de ce Guitar 6 et on se dit à une prochaine fois!

Raisonner par l'absurde

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