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Dans ce cours sur la démonstration par la contraposée, Paul explique comment démontrer une proposition en utilisant sa contraposée qui consiste à inverser la relation et les termes. Pour illustrer cela, il prend l'exemple de la proposition suivante: si n² est impair, alors n est impair. En utilisant la contraposée, il dit que si n est pair, alors n² est pair. Ensuite, il démontre cette contraposée en expliquant qu'un nombre pair peut être représenté comme 2p et donc n² sera égal à 2 facteurs de 2p², ce qui est pair. Il conclut en expliquant que quand la contraposée est plus facile à démontrer, on peut l'utiliser pour démontrer la proposition initiale.

Salut c'est Paul, on se retrouve pour un petit exercice sur la démonstration par la contraposée. Donc on a l'exercice soit n un entier et énoncer et démontrer la contraposée de la proposition suivante. Si n² est impair alors n est impair. Et est-ce qu'on a démontré la proposition initiale à la fin? Donc la contraposée de si A alors B c'est si non B alors non A. Donc pour un mnémotechnique j'aime penser qu'on inverse tout. Donc on inverse A et B ça devient non A et non B et on inverse l'ordre. Et ça c'est bien sûr à connaître par coeur. Donc on donne la contraposée de si n² est impair alors n est impair. C'est si n est impair, donc vous voyez le B ici il est passé en première position, donc si n est impair alors n² est impair. Donc on a inversé tout, c'est pas très compliqué. On doit démontrer ça maintenant. Donc soit n appartenant à n tel que n est impair. Donc il existe un p tel que n est égal à 2p. Et donc n² est égal à 2 facteurs de 2p². Or 2p² c'est un lentier naturel, parce que p est un lentier naturel. Donc n² est pair. Donc on a bien démontré la contraposée. Mais une proposition et sa contraposée sont équivalentes. Donc quand on démontre la contraposée on a démontré la proposition. Donc on a bien démontré que si n² est impair alors n est impair. Donc c'est une technique valable. Quand la contraposée semble plus facile à démontrer que la proposition initiale, on passe par la contraposée. C'est un outil encore à avoir. C'est la fin de cet exercice et on se dit à bientôt!

Raisonner par contraposée

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