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Paul explique comment travailler le raisonnement par récurrence en démontrant la propriété pn ≥ n² pour n appartenant à n. Pour prouver la récurrence, il utilise une implication qui montre que si pn est vraie, alors pn plus 1 est également vraie pour n supérieur ou égal à 3. Il démontre ensuite l'initialisation pour n égal à 3, qui se révèle fausse en testant la propriété. En testant les valeurs supérieures de n, il trouve que pour n égal à 5, la propriété est vraie. Ainsi, il conclut que la propriété est vraie pour tout n supérieur égal à 3, et que le rang cherché est 5.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans un exercice qui permet de travailler le raisonnement par récurrence. Ok c'est parti. Donc pour n appartenant à n, on considère la propriété suivante pn 2 puissance n strictement supérieure ou égale à n². Donc on doit montrer l'implication pn implique pn plus 1 donc est vrai pour n supérieur ou égal à 3. Donc et pour quelle valeur la propriété de n pn est vraie. Donc dans un premier temps on va prouver pn implique pn plus 1. Donc si on prend soit n supérieur ou égal à 3 tel que pn est vrai. Donc pn 2 puissance n supérieur strictement supérieur ou égal à n² ça implique que 2 puissance n plus 1 strictement supérieur ou égal à 2 n² donc on a multiplié par 2. Donc maintenant on résout 2 n² supérieur ou égal à n plus 1 au carré. Donc là on veut faire apparaître du n plus 1 au carré pour avoir du pn plus 1 mais on a du 2n² donc on doit on va essayer de voir dans quelles conditions ça c'est vrai pour pouvoir transférer ce 2n² en n plus 1 au carré. Donc on va résoudre ça voilà pour voir à partir de quel n c'est vrai et espérer que ce soit vrai pour n supérieur ou égal à 3. Donc n² moins c'est équivalent à n² moins 2n moins 1 supérieur ou égal à 0. Maintenant on a un polynome du coup on le résout. On a deux racines donc une négative et une positive comment je sais s'ils sont positives et négatives parce que je connais la valeur de racine 2 à peu près qui est égale à 1,41 donc c'est bien à connaître et voilà donc là vu que c'est un polynome à coefficient donc coefficient d'ordre 2 ici positif le polynome est positif à l'extérieur des racines donc ici comme on a une seule racine positive et bien c'est la solution c'est 2n² supérieur ou égal à n plus 1 au carré c'est équivalent à n supérieur à 1 plus racine de 2 donc supérieur à cette racine parce que n est positif et comme n est entier c'est équivalent à n supérieur ou égal à 3 et donc comme c'est bien le cas on a bien ça donc on a finalement que pn plus 1 est vrai ainsi qu'il que soit n supérieur ou égal à 3 pn implique bien pn plus 1 ok donc pour quelle valeur de n la propriété pn est-elle vraie? On serait tenté pour dire à partir de n égal à 3 ok sauf que non là pour utiliser le théorème de récurrence je rappelle qu'il faut bien l'initialisation mais ça vous devez déjà le savoir donc il faut initialiser donc on teste pour n égal à 3 par exemple donc là 2 puissance n égale à 8 et n au carré égal à 9 p3 est fausse, bah oui voilà, cette fois vous voyez qu'il y avait un piège donc pn implique pn plus 1 pour n donc il y a l'hérédité pour n supérieur ou égal à 3 mais l'initialisation à 3 est fausse donc voilà ça montre bien que par exemple p3 implique p4 voilà qui est égale à non p3 ou p4 voilà d'un point de vue logique vous voyez que là à aucun moment p3 enfin c'est même l'inverse en fait si p3 est fausse alors ça c'est vrai voilà ou alors p4 est vrai alors faut que p4 soit vrai mais donc où ça cette attraction est vraie indépendamment du fait que p3 soit fausse donc pour n égal à 4 2 puissance 4 égale à 16 donc n 2 puissance n n égale à 16 et n au carré égal à 16 sauf qu'on veut une inégalité stricte donc p4 est aussi fausse donc vous voyez que p3 implique p4 et à la fois p3 et p4 sont faux mais p3 implique p4 est bien vrai parce que p3 est fausse justement donc pour n égal à 5 là donc là on était quasiment on était quasiment on avait quasiment la bonne inégalité donc on va sûrement ça va sûrement marcher pour n égal à 5 et bingo parce que 2 puissance 5 égale à 32 et 5 au carré égal à 25 donc on a bien p5 est vrai donc comme p5 est vrai et quelque soit n supérieur égal à 3 pn implique pn plus 1 d'après le théorème de récurrence on a quelque soit n appartient à 5 plus l'infini donc entier pn est vrai donc le rang qu'on cherchait c'était bien 5 voilà ça conclut cet exercice et on se dit à la prochaine fois

Raisonner par récurrence

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