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Dans cette vidéo, Paul explique l'importance des quantificateurs en mathématiques en utilisant l'exemple d'une fonction f du plan dans lui-même. Il explique que le plan P est un ensemble au même titre que R et que cela ne change rien quant aux quantificateurs utilisés. Il traduit ensuite l'affirmation que f est l'identité du plan en utilisant des quantificateurs, et explique comment on peut également traduire la négation de cette affirmation. Enfin, il explique comment traduire l'affirmation que pour tout point M du plan P, M est sur un cercle C de centre oméga et de rayon R si et seulement si la distance de M à oméga est égale à R, en utilisant des quantificateurs.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une nouvelle vidéo sur la logique où on va voir encore une fois les relations entre phrases mathématiques en français et quantificateurs. Et pour voir à quel point les quantificateurs c'est important en maths. Dans cet exercice, f est une fonction du plan dans lui-même, et exprimée à l'aide de quantificateurs et des phrases suivantes, et puis donnée à leur négation. Donc f est l'identité du plan, f a au moins un invariant, et là il y a les histoires de cercles, de plans M et de distance. Tout ça ça fait un peu peur, c'est différent des fonctions de R dans R, mais en fait non, parce qu'il faut se rappeler que f c'est une fonction, donc ça ne change pas grand chose d'un point de vue des quantificateurs, ça ne change rien même. Le plan P c'est un ensemble au même titre que R, donc f c'est une fonction de P dans P comme ce serait une fonction de R dans R. Ça ne change quasiment rien, et M appartient à P comme un réel appartiendrait à X, X appartiendrait à R. Donc il faut vous dire que ça ne change quasiment rien, il ne faut pas paniquer. Et il ne faut pas aller chercher des choses de compliquées, il faut aller à l'essentiel. Donc pour la première question, f est l'identité du plan. Pour traduire ça, f est l'identité du plan, ça veut dire que pour tout plan, pour tout élément de P, donc pour tout point M dans P, f de M est égal à M. Donc là ça ne change rien, f ça pourrait être une fonction de R dans R, j'aurais marqué quel que soit X dans R, f de X est égal à X. J'aurais même marqué quel que soit M dans R, f de M est égal à M, et là ça aurait été une fonction de R dans R. Mais que la fonction soit l'identité du plan, d'un plan ou de R dans R, ça ne change rien d'un point de vue des quantificateurs quasiment, sauf l'ensemble ici. Donc voilà. Et la négation, c'est pareil, ça n'a pas changé, comme dans R dans R. Quand on a un « il existe » et après on prend la négation de cette assertion, qui est f de M est différent de M. Donc f a au moins un point invariant, là c'est pareil, c'est comme une fonction de R dans R quand elle a un point invariant, vous avez déjà écrit cette relation avec des quantificateurs, c'est pareil, on remplace X par M et R par P. Donc il existe un M dans P tel que f de M est égal à M, et pour prendre sa négation, quel que soit M dans P, donc négation de « il existe », f de M est différent de M. Tout simplement. Là il y a une chose un peu plus originale par rapport au plan, qu'on ne pourrait pas faire dans R. Pour tout point M du plan P, M est sur le cercle C de centre oméga et de rayon R, si et seulement si, la distance de M à oméga est égale à R. Là on va diviser ça en plusieurs parties. Pour tout point M du plan P, quel que soit M appartenant à P, M est sur le cercle de centre oméga, si et seulement si, la distance de M à oméga est égale à R. Donc là il y a une virgule, pour tout M du point P on a ça. On met virgule et des parenthèses pour bien dire que c'est pour tout M du point P. M est sur le cercle C de centre oméga et de rayon R. M appartient au cercle de centre oméga et de rayon R, c'est comme ça qu'on note avec le centre et le rayon. Un cercle est un ensemble de points, au même titre qu'un segment, qu'un triangle, ce genre de choses. Donc M appartient à un cercle et si et seulement si, donc équivalent, la distance de M à oméga est égale à R. Voilà, aussi simple que ça. J'ai été Yarsis et on se dit à la prochaine fois!

Quantificateurs un peu chauds

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