Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Logique

Dans cette vidéo, Paul démontre la propriété suivante par contraposée : si l'entier n²-1 n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair. Il explique que pour prouver la contraposée, il faut d'abord exprimer un entier impair n sous la forme n = 4k + r, avec r appartenant à {1 ; 3}. Ensuite, il développe n²-1 en fonction de 8 et montre que quel que soit n impaire, alors n²-1 est divisible par 8. Ainsi, on a démontré la contraposée et par conséquent la propriété de l'énoncé est également démontrée.

Salut c'est Paul, et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur les raisonnements par la contraposée. Le but de cet exercice est de démontrer par contraposée la propriété suivante, du coup pour n appartenant à n étoiles. Si l'entier n²-1 n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair. Le but ça va être d'écrire la contraposée de la proposition précédente, et de prouver la contraposée. Et a-t-on démontré la propriété dénoncée? Oui, parce que la contraposée est équivalente à la proposition dont elle est la contraposée. Donc la première question va être la définition de la contraposée. Et la deuxième question, on va dire qu'en remarquant qu'un entier impair s'écrit sur la forme n égale 4k plus r, avec r appartient à 1 soit a3. On va essayer le fait que l'entier n est impair, n égale 2p plus 1. Et après l'astuce c'est de dire que p est soit pair soit impair. Et là on a notre k et on a les deux cas où r est égal à 1 ou r est égal à 3, on verra. Et après il va falloir bidouiller un peu avec la contraposée et ce que ça veut dire ça. Donc c'est parti. Si l'entier n²-1 n'est pas divisible par 8, alors l'entier n est pair. Donc on va écrire la contraposée de ça. Donc c'est non, ce qu'il y a après le alors. Donc si l'entier n est impair, alors non, l'entier n²-1 est divisible par 8. Donc le complémentaire 2 n'est pas divisible par 8. Donc comme j'aimais dire, on inverse tout dans la contraposée. On inverse l'ordre des membres et on prend leur complémentaire. 2. En remarquant qu'un entier impair n s'écrit sous la forme n égale 4k plus r, prouvez la contraposée. D'abord on va prendre un entier n impair. Le but est de prouver la contraposée. Donc si l'entier n est impair, on va prendre un entier n impair et on va essayer de prouver que n²-1 est divisible par 8. Mais d'abord on va jouer le jeu et on va essayer de prouver que n égale 4k plus r. Donc n est impair, donc n égale 2p plus 1. Et là comme j'ai dit, il y a deux solutions. L'astuce c'est de dire que si p est impair, il existe k tel que n égale 4k plus 1 parce qu'on remplace p par 2k. Et si p est impair, il existe k tel que n égale 2 fois 2k plus 1 parce que c'est p ça, et est égal à n 4k plus 3. Et donc ainsi on a bien soit il existe k et r dans un 3 tel que n égale 4k plus r. Ça dépend si p est impair, donc 1 ou impair 3. Maintenant qu'on a ça, qu'est-ce que ça nous avance? On veut prouver que n²-1 est divisible par 8. Si on nous a fait exprimer n en fonction de 4k plus r, c'est qu'on va devoir sûrement l'injecter dans n²-1. On va donc exprimer n²-1 en fonction de 8, mettre 8 en facteur. Donc n²-1, on remplace n par sa valeur ici. 16k² plus 8k plus r²-1. Et là, r peut avoir deux valeurs différentes. Si r égale à 3, ça c'est égal à 8, donc on peut factoriser par 8. Ici, k étant un entier, ce nombre ici est un entier aussi. Donc n²-1 est divisible par 8. Sinon, r est égal à 1 et ce nombre ici est égal à 0. Ici, on peut toujours factoriser par 8. Donc n²-1 est divisible par 8, parce que ces deux nombres sont bien des entiers à chaque fois. Dans les deux cas, n²-1 est divisible par 8. Ainsi, quel que soit n appartenant à n étoiles, n impaire implique n²-1 divisible par 8. On a prouvé la contraposée. A-t-on démontré la propriété de l'énoncé? Oui, comme une proposition et sa contraposée sont équivalentes, on a bien démontré la propriété de l'énoncé, car on a démontré la contraposée. C'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Contraposée et arithmétique

RELATED

Recommended videos

Utiliser les quantificateurs

Ecrire la négation

Equivalence et implication