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Dans cette vidéo, Paul nous explique le raisonnement par récurrence utilisé pour prouver une inégalité. L'exercice consiste à prouver que pour tout entier n et tout réel x, 1+x^n est supérieur ou égal à 1+nx. La récurrence ne porte que sur n et l'hypothèse de récurrence est la propriété à prouver pour n. On vérifie la propriété avec un calcul rapide et on rédige ensuite la démonstration en posant la propriété P2n avec la propriété définie pour tout entier n telle que 1+x^n est supérieur ou égal à 1+nx. L'initialisation est vérifiée pour n=0 et on poursuit avec l'hérédité pour prouver Pn+1. En utilisant des calculs et des inégalités, on conclut que Pn est vrai pour tout n et tout x.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans cette nouvelle vidéo où on va parler du raisonnement par récurrence. La subtilité de cet exercice c'est qu'on a un raisonnement par récurrence où on veut prouver des choses pour tout n et pour tout réel x. On a 1 plus x puissance n supérieur ou égal à 1 plus nx. On a deux jeux de nombres qui varient. On n'a pas que n qui varie, on a x aussi. On va voir que c'est très simple. La première question essaie de nous piéger. La récurrence porte-t-elle sur n ou sur x? La récurrence s'établit des entiers donc ça ne porte évidemment que sur n. Énoncer l'hypothèse de récurrence. L'hypothèse de récurrence c'est le début de l'hérédité où on suppose que la propriété est vraie au rang n pour la prouver au rang n plus 1. C'est juste une question de vocabulaire. On va vérifier ça qui est très simple, un calcul très rapide. Après on va rédiger la démonstration, donc la récurrence en elle-même. L'exercice nous tient la main pour nous montrer un type de récurrence particulier. Après vous verrez que vous aurez juste prouvé par récurrence que l'on a ça. Sans les questions intermédiaires. La fin de la question, la récurrence porte-t-elle sur n ou sur x? Comme on a dit, la récurrence porte sur n évidemment. Il n'y a pas de question à se poser. Le théorème de récurrence ne s'applique qu'à des entiers. Après énoncer l'hypothèse de récurrence. L'hypothèse de récurrence c'est ce qu'on va supposer. On va supposer la propriété or n, donc la propriété qu'on va essayer de prouver par récurrence. C'est soit n appartenant à n tel que quelque soit x appartenant à moins 1 plus infini, donc c'est notre ensemble x supérieur ou égal strictement supérieur à moins 1. 1 moins x puissance n supérieur ou égal à 1 plus n. Donc ça c'est l'inégalité qu'on veut prouver. Et vous voyez que le quelque soit x est dans la propriété de récurrence. Donc en fait il n'y a pas de piège. Il faut mettre le quelque soit x dans la propriété de récurrence. Il y a une possibilité aussi de le mettre à l'extérieur. Mais vous choisissez l'un ou l'autre. De faire soit x fixé à l'extérieur de la récurrence. Et à la fin de prouver la récurrence pour un x particulier. Sauf que comme on aura fixé un x quelconque, ce sera prouvé pour tout x. Mais moi je l'aime bien le faire comme ça, c'est plus pratique. Je trouve. Donc voilà. Et après on vérifie cette relation. Donc c'est instantané. Alors bon, ça c'est plus pour nous dire Ah bah tiens ça, ça se factorise en ça. Bon ça, ça va nous servir sûrement pour l'hérédité. Et maintenant on va rédiger la démonstration. On va poser la propriété, soit P2n la propriété définie pour tout entier n par P2n Quelque soit x appartient à (-1, infini), 1 plus x puissance n supérieure ou égale à 1 plus nx. Et donc voilà, les x sont bien définis dans la propriété de récurrence. Et c'est pas pour ça que la récurrence porte sur x. Donc n égale à 0, l'initialisation à ne pas oublier. Donc on prend un x dans (-1, infini), et 1 plus x puissance 0 c'est égal à 1, qui est supérieur ou égale à 1 plus 0 fois x. Donc la propriété P0 est vraie. Maintenant on fait l'hérédité. Donc on prend un n tel que P2n est vrai. Et P2n ça implique que 1 plus x puissance n est supérieur ou égal à 1 plus nx. Donc là la marche à suivre est un peu donnée par ça, parce que là on a 1 plus nx facteur de 1 plus x. Ça nous dit de comment on fait pour augmenter la puissance ici, on fait x 1 plus x de chaque côté. Et là ça nous donnera ici dans le membre de droite ce qu'on a ici. Là on peut bien multiplier par un plus x strictement supérieur à 0, car x est strictement supérieur à 1. Donc ça ne change pas le sens de l'inégalité. On utilise la question précédente pour développer ça, ou on développe tout simplement. Et là on a bien du 1 plus n plus 1x, donc ça c'est ce qu'on veut. Et là suffit de remarquer que nx² est supérieur ou égal à 0. Ainsi on peut l'enlever tout en conservant l'inégalité. Donc on a prouvé Pn plus 1. Donc on peut faire la conclusion d'après le théorème de récurrence. On a Pn qui est vrai, donc quelque soit n appartient à n, quelque soit x appartient à moins 1 plus infini, x plus 1 plus infini est supérieur ou égal à 1 plus nx. Voilà, c'est la fin de cet exercice, et je vous dis à la prochaine fois!

Inégalité de Bernoulli

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