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Analyse synthèse : Equation fonctionnelle
Dans cet exercice, on cherche les fonctions f de R dans R qui vérifient l'équation fonctionnelle pour toute valeur de x : f(x) + x*f(1-x) = 1+x. Pour résoudre cette équation, on peut calculer les valeurs de f(0) et f(1), ce qui permet de constater que la fonction constante égale à 1 est une solution possible. En utilisant la symétrie de l'équation par rapport à x et 1-x, on peut éliminer f(1-x) et exprimer f(x) en fonction de f(x). On montre ainsi que la seule fonction solution est la fonction constante égale à 1. On vérifie l'existence de cette fonction en posant f(x)=1 pour toute x, ce qui permet de confirmer que cette fonction est l'unique solution du problème.
