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Dans cet exercice, on cherche les fonctions f de R dans R qui vérifient l'équation fonctionnelle pour toute valeur de x : f(x) + x*f(1-x) = 1+x. Pour résoudre cette équation, on peut calculer les valeurs de f(0) et f(1), ce qui permet de constater que la fonction constante égale à 1 est une solution possible. En utilisant la symétrie de l'équation par rapport à x et 1-x, on peut éliminer f(1-x) et exprimer f(x) en fonction de f(x). On montre ainsi que la seule fonction solution est la fonction constante égale à 1. On vérifie l'existence de cette fonction en posant f(x)=1 pour toute x, ce qui permet de confirmer que cette fonction est l'unique solution du problème.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans un nouvel exercice qui va traiter de raisonnement et en même temps de fonction à valeur réelle. L'exercice consiste à vouloir démontrer ici, enfin à trouver les quelles fonctions f de R dans R telles que pour toute x dans R f de x plus x f de 1 moins x est égal à 1 plus x. On a une équation fonctionnelle ici qui dépend de x avec f dedans. Le but est de trouver toutes les f qui vérifient cette équation. Donc en fait les questions vont vous guider un peu dans la résolution du problème mais on pourrait imaginer que on n'ait que l'énoncé ici, on soit déterminé toutes les fonctions et allez-y déterminer les. Mais du coup ces questions nous donnent un peu des pistes. Donc là on nous demande de calculer f de 0, f de 1. Donc en fait là une première piste c'est bien quand on a ce genre d'équation qui est valable pour toute x dans R c'est bien d'aller voir des x en particulier, quels x sont importants pour cette équation, est-ce qu'il y a des x particuliers qui sont mis en avant. Là en particulier f de 0 ici ça simplifie, on n'a plus que f de 0 ici donc on pourra facilement calculer f de 0 parce qu'on n'a plus f de 1. Donc on a f apparaît tout seul et f de 1 au contraire ici fait apparaître f de 0 qu'on aura déjà calculé. Donc f de 1 et f de 0 c'est une relation particulière. On pourrait tester d'autres valeurs, on ne va pas le faire parce qu'on demande de calculer que f de 0, f de 1 mais n'hésitez pas c'est rapide et c'est gratuit pour voir si ça vous inspire à des choses. Donc après on a le rôle symétrique de x et de 1-x qui est exhibé par la question 2. Donc on s'y situe en x par 1-x. Si on s'y situe x par 1-x, x devient 1-x et 1-x devient x. Vu qu'on a du x ici et donc on a f de x et f de 1-x, c'est comme échanger les rôles de f de x et de 1-x dans l'équation et comme ça on obtient une autre équation peut-être intéressante. Donc c'est pas mal quand on a ce genre de symétrie là 1x et 1-x ou 2-x du coup substituer x par 2-x pareil. Sinon en règle plus générale une fonction on va regarder des choses sur les fonctions dérivables, continu, croissance, ce genre de choses. Donc tout ce qui peut nous apporter des informations. Donc la première question du coup on va remplacer du coup on va calculer f de 0 et f de 1. On va remplacer dans l'équation x par 0 d'abord. Donc c'est facile f de 0 égale à 1 rapidement et f de 1 vu qu'on connaît f de 0 ça nous permet de dire que f de 1 égale à 1. Donc là déjà ça me met la puce à l'oreille. On nous a demandé de calculer ces deux valeurs et elles sont égales. Souvent dans ce genre de cas c'est pas rare que la question, la fonction qu'on veuille trouver avec ce genre d'équation c'est des fonctions soit périodiques soit des fonctions constantes souvent. Donc les fonctions constantes ici la fonction constante égale à 1. On peut tester là on regarde on peut tester avec des fonctions de simple. F de x ça peut être ça si on dit f de x la fonction constante égale à 1 donc 1 plus x fois 1. Ah bah oui ça marche. Sauf que c'est peut-être pas la seule donc voilà mais ça peut nous donner une idée. Donc si on prend x appartenant à R donc la deuxième question si on prend x appartenant à R et on substitue un x par 1 moins x dans la relation déterminée f de x. On fait ça et en fait donc d'abord ça nous donne une première équation ici f de x plus x f de 1 moins x égal à 1 plus x donc ça c'est l'équation de base et si on remplace pour x égal à 1 moins x donc si on prend l'équation initiale et qu'on prend pour x égal à 1 moins x et bien on a f de 1 moins x plus 1 moins x f de x égal à 2 moins x. Qu'est ce qu'on va faire avec cette équation? On va essayer donc c'est un système en f de x et on va essayer d'éliminer f de 1 moins x. Donc on exprime f de 1 moins x ici en fonction de f de x c'est bon voilà et maintenant du coup on peut exprimer f de x qui est égal à ça en fonction de f de x. Maintenant on fait tout passer de l'autre côté, on factorise par f de x et là on peut bien diviser par ça parce que c'est différent de 0 car le déterminant de ce polynôme ici est égal à moins 3 donc il n'y a pas de racine donc il ne s'annule pas. Quel que soit x donc on a bien ici f de x égal à 1. Donc c'est bien ce qu'on a vu donc en fait la seule possibilité c'est que f de x soit égal à 1. Sauf que maintenant on a juste démontré l'unicité donc c'est bien ça qu'on va nous faire remarquer dans la dernière question. Quelles sont les fonctions f-solutions du problème 1? Là on s'est tenté de dire ah bah oui c'est f de x égal à 1, voilà c'est la seule. Non, attention ici on a seulement prouvé l'unicité de f. Donc on a prouvé si f existe alors f est égal à la fonction constante égal à 1. On le demande l'ensemble des... on le demande toutes les fonctions qui vérifient ça. Souvent on utilise le pluriel pour un peu être général mais il pourrait qu'il n'y en ait aucune. C'est pas parce que il peut y en avoir que 1 que c'est bien 1 cette fonction qui vérifie ça. Donc là maintenant on doit vérifier l'existence donc en fait pour ça c'est juste une formalité et rien de plus simple. On prouve l'existence de f, on fait quoi? On pose f égale 1 sur r et on vérifie bien que f du coup est égal à 1. C'est comme ça qu'on note ici la fonction constante égale à 1 avec un petit r. Donc la fonction constante de valeur lambda, on note lambda avec un petit r en bas. Donc on vérifie, vu que c'est une fonction constante, f de x égal à 1, f de r moins x égal à 1 et c'est bien égal à 1 plus x. Donc la fonction 1 vérifie bien et elle est unique donc la fonction constante égale à 1 de valeur 1 est l'unique fonction solution du problème. Et voilà on a fini cet exercice et on se dit à une prochaine fois!

Analyse synthèse : Equation fonctionnelle

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