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Dans cette vidéo, Paul explique la différence symétrique, définie comme delta A, delta B, qui est l'ensemble des X qui sont dans A ou B mais qui ne sont pas dans A et B. Il utilise des patates pour aider à comprendre cette définition. Il montre également une propriété de l'égalité entre deux ensembles par double inclusion. Il utilise cette propriété pour calculer quelques exemples de différences symétriques. La quatrième question consiste à démontrer la distributivité de l'intersection sur la différence symétrique. Paul procède par double inclusion pour démontrer cette relation. En fin de compte, la vidéo explique comment calculer la différence symétrique de différents ensembles.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo où on va attaquer un exercice sur les ensembles et plus particulièrement sur la différence symétrique. La différence symétrique c'est quoi? Ça va être défini comme noté comme delta A, delta B. C'est l'ensemble des X qui sont dans A union B mais qui ne sont pas dans A inter B. On va d'abord interpréter les éléments de différence symétrique de A et de B. On va utiliser des patates pour bien comprendre comment ça marche. Après on va montrer une propriété ici. Donc là égalité entre deux ensembles donc double inclusion. Après on va calculer quelques différences symétriques. On va utiliser la relation qu'on a calculée à la question précédente. Et pour la quatrième question on va utiliser la technique de la double inclusion. C'est parti, on commence l'exercice. Interprétez les éléments de la différence symétrique de A et de B. La différence symétrique c'est les éléments de l'union. C'est l'élément qui appartient à A ou à B et qui ne sont pas dans l'intersection. Ils ne sont pas dans A et B. Ils ne sont pas dans les deux à la fois. Ils appartiennent à A ou à B sans appartenir aux deux à la fois. Ils appartiennent à A ou exclusif à B. Donc si on fait un dessin on a A et B mais la différence symétrique c'est l'ensemble violet. C'est la réponse à la première question. Maintenant on va passer à la deuxième question. On doit montrer que la différence symétrique de A c'est l'intersection entre A et le complémentaire de B. Union, l'intersection entre B et le complémentaire de A. On procède par double inclusion. On prend un X dans la différence symétrique de A et de B. Si X appartient à A, vu qu'il est dans la différence symétrique de A et de B, on peut interpréter la différence symétrique de A et de B comme étant les éléments qui sont dans A mais pas dans B ou dans B mais pas dans A. Donc si X appartient à A, X n'appartient pas à B vu qu'il est dans la différence symétrique. Donc X appartient au complémentaire de B par définition du complémentaire. Ainsi il appartient à l'intersection de A et du complémentaire de B. Donc il appartient à cette intersection, union, à l'autre ensemble. Ici l'ensemble qui nous intéresse appartient à l'ensemble de droite. De même, si X appartient à B, vu qu'A et B ont un rôle symétrique dans la différence symétrique, X appartient à l'ensemble qu'on veut. C'est la même chose sauf qu'on a interverti A et B. Donc on a la première inclusion. Après on prend X dans l'ensemble de droite pour avoir l'inclusion réciproque. On doit prouver qu'il est dans la différence symétrique de A et de B. Donc si X appartient à A inter le complémentaire de B, donc X appartient à A, X n'appartient pas à B. Ça veut dire que X appartient à l'union de A et B et X n'appartient pas à l'intersection de A et B, entre autres. Enfin, ça implique ça. Donc X appartient à la différence symétrique de A et de B par définition. Là c'est bien la définition de l'appartenance à la différence symétrique de A et de B. Sinon, X appartient à l'autre ensemble. Et de même, là on a interverti juste les rôles de A et de B, on a que X appartient bien à la différence symétrique. Si on reprend le même raisonnement. Donc on a la double inclusion, donc l'égalité. Maintenant, on passe à la troisième question, on va mettre en application cette relation. Pour calculer la différence symétrique de A et de A, on applique A inter son complémentaire, c'est l'ensemble vide. Et A inter son complémentaire encore, c'est l'ensemble vide. Donc c'est égal à l'ensemble vide. Donc la différence symétrique de A et de l'ensemble vide, on le remplace dans la relation. A inter le complémentaire de l'ensemble vide qui est l'ensemble E, donc ici on a l'ensemble A. Union, l'ensemble vide inter le complémentaire de A, donc l'ensemble vide inter quelque chose, c'est l'ensemble vide. Donc c'est bien égal à A. Donc là on passe à la différence symétrique de A et de E. C'est égal à, si on remplace dans la relation ici, on a le complémentaire de E, ici, qui est l'ensemble vide. Donc A inter l'ensemble vide, l'ensemble vide. Union, E inter le complémentaire de A, donc c'est égal au complémentaire de A. Donc on a bien que A, différence symétrique de E, c'est le complémentaire de A. Et la différence symétrique de A et du complémentaire de A, on remplace. Donc le complémentaire ici du complémentaire de A, c'est bien A. Et donc ici, là on a le complémentaire de A aussi, enfin l'intersection d'un ensemble avec l'union C lui-même. Donc on a A union son complémentaire, donc ça fait l'ensemble E total. Donc on en quatre et on a fini de répondre à la question 3, vu qu'on a calculé toutes les différences symétriques. Donc la question 4, on a fini de répondre à la question 3. Donc à la question 4 maintenant, on va démontrer cette relation. Donc si on remarque bien cette relation, c'est la distributivité de l'intersection sur la différence symétrique. Donc pour tout ABC, on a ABC des deux ensembles de E, donc on prend X dans l'ensemble de gauche, toujours par double inclusion, ça n'a pas changé. Donc qu'est-ce que ça veut dire que X appartient à l'intersection de la différence symétrique de A et de B et de C? Ça veut dire que X appartient à un ensemble et à l'autre. Donc là on a deux cas, on distingue deux cas. Si X appartient à A, alors X appartient à A et il appartient à C, donc il appartient à l'intersection de A et de C. De plus, X n'appartient pas à B, vu que la différence symétrique X n'appartient pas à B, donc X n'appartient pas à l'intersection de B et de C. Ainsi, on a que X appartient à la différence symétrique de A et de B, parce qu'il appartient à A et de C mais pas à B et de C. De même, si X appartient à B, vu que le rôle de A et de B sont symétriques, on peut utiliser le même raisonnement et on a directement le résultat. Donc le même raisonnement que pour A en remplaçant A par B. Réciproquement, si on prend X dans l'ensemble de droite, on a deux cas. Si X appartient à A inter C, il n'appartient pas à B inter C. Donc déjà entre autres, il appartient à A inter C, donc il appartient à C. D'autre part, il appartient à A, mais X n'appartient pas à A inter C, parce qu'il appartient à la différence symétrique et il appartient à l'un, donc il n'appartient pas à l'autre. Donc X n'appartient pas à B, vu qu'il appartient à C mais pas à l'intersection de B et de C, donc il n'appartient pas à B. Donc X appartient à la différence symétrique de A et de B, mais pas à B. Donc il appartient à C et la différence symétrique, donc il appartient à leur intersection. On a fait le cas où il appartenait à A inter C, où X appartenait à A inter C. Maintenant on fait le cas où X appartient à B inter C. Et en fait, là je dis de même, parce que si on remplace toujours A par B, c'est le même raisonnement. Donc ça appartient à la différence symétrique de A et de B inter C. Ainsi, on a bien l'égalité, parce qu'on a une inclusion réciproque et l'égalité. Voilà, c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Différence symétrique

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